線形計画法を援用した新しい区間演算方式に関する研究

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計算機自身に数値計算を行うと同時に結果の精度の保証を行わせるという発想とその研究は古くから行われてきた。精度保証付き数値計算と呼ばれるようになったこの分野は、ドイツを中心として近年急速に発展し、今後の数値計算法のあるべき姿として世界的に注目を集めている。区間演算とは、一つの実数値を[下限,上限]のように2つの計算機で表現可能な数で挟んで演算を行う方式であり、計算誤差の把握のみならず一種の集合値演算を行うことが出来、精度保証付き数値計算を支える最も重要な技法の一つである。ところが、一方で評価が悲観的に過ぎ、確かに真の値を含む区間を得られるもののその幅はしばしば非現実的に大きくなってしまうという問題点を抱えている。本研究では、入力変数の線形和をデータメンバとする特殊な演算を定義し、線形計画法を用いることにより区間演算の過大評価の問題を解決し、一般的かつ超高性能な区間演算法を確立した。また、本手法で用いる線形計画法として一般的な単体法を用いた場合、本手法の中で解かれる複数の線形計画問題は共通の制約を数多く持つことから、計算方法を工夫することにより大幅に計算量を削減できることを示した。これにより、線形計画問題の許容解の一頂点を求めるいわゆるPhase-1を完全に省略できる。また、本手法を多くのプログラムに対して素直に適用可能な様に計算機上に実装し、その有効性を確認した。上記のライブラリを用いて、区間演算による値域の評価を基礎とした数多くのアルゴリズムに適用し、その効果を確認した。これにより、理論的には問題なくとも区間演算の過大評価が大き過ぎて実用には難しいと思われていた多くのアルゴリズムが救済されたと考えられる。また、本手法内で使用される線形計画法のアルゴリズム自身の精度保証の問題についても、新たな精度保証付き線形計画法のの開発によって解決することが出来た。