非線形常微分方程式の精度保証付き数値計算

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本研究は、計算機自身に数値計算を行うと同時に結果の精度の保証を行わせるという発想に基づく精度保証付き数値計算の分野において、特に非線形常微分方程式の精度保証付き計算の新しい方法を開発することを目的として行なわれたものである。Lohnerが提案した区間解析とTaylor展開を用いる方法について、ベキ級数展開に対する演算を定義することにより新しく捉えなおし,またそれを大幅に改良した方法を構築し,詳細な理論的解析を行うことによりこの方法の有効性を明らかにした。また,本研究の方法は,自動微分法と呼ばれる新しい数値計算法と深い関連があるが,そこで得られた知見を導入することにより更に改良できることを示した。また、この方法を実際に計算機上に実現し、それが用意に実装可能であることを示した。このシステムは高い汎用性を持ち、問題の記述は極めて用意である。更に、特に初期値問題における長時間の積分について、平均値の定理を用いた誤差補償法の導入によって大幅な改良に成功し、実用的問題に対しても適用可能であることを示した。また、本研究で得られたベキ級数に対する演算法は、常微分方程式に限らずより多くの問題に適応可能であることが分かり、それについても検討した。これにより、高次導関数の計算、関数の値域の評価、精度保証付き数値積分が効率的に行なえることが分かった。