シンプレクティック空間における局所化と大域的構造の研究

前年度の研究を引き継ぎ、コンパクト群の余随伴軌道たちの直積空間のシンプレクティック商のトポロジー、特にコホモロジーの交叉積や各種の特性数についての研究を行なった。これらの空間は、非アーベル的な群によるシンプレクティック商の典型例であるばかりでなく、ある種の幾何学的対象のモジュライ空間ともみなすことができる。また、群や軌道を取り替えることにより、さまざまなバリエーションを持ち、多くの分野にまたがる重要な対象といえる。今年度の成果としては、前年度に課題となった、曲面上の平坦接続のモジュライ空間に関するフェアリンデの公式との関連に対して一つの解答を与えたこと、が挙げられる。実際、余随伴軌道の直積空間のシンプレクティック商が、曲面上の平坦接続のモジュライ空間の特別な場合とみなせることは、以前より知られていた。一方 本研究により得られた見地は、前者のトポロジーはコンパクト群の表現論によって支配されており、後者のそれは、対応するループ群あるいはアフィン・リー環の表現論によって支配される、という図式である。そして、その立場から両空間の不変量の関連を解明できた点を、本研究の意義として強調したい。後者の特性数に関するフェアリンデの公式およびウィッテンの体積公式は、ここ十年来、多くの研究がなされており、いろいろな見地からの証明が得られている。前者に関する本研究の結果は、特別な場合に限られるがフェアリンデの公式の別証を与える。さらに、結果として得られる前者の不変量の表示は、後者に対するフェアリンデの公式と一見異なる形をしている。この非自明な等式の背後には、ある種の留数公式が介在することが示唆される。この観点は組合せ論的にも興味深く、その解明については今後の課題としたい。

前年度の研究を引き継ぎ、コンパクト群の余随伴軌道たちの直積空間のシンプレクティック商のトポロジー、特にコホモロジーの交叉積や各種の特性数についての研究を行なった。これらの空間は、非アーベル的な群によるシンプレクティック商の典型例であるばかりでなく、ある種の幾何学的対象のモジュライ空間ともみなすことができる。また、群や軌道を取り替えることにより、さまざまなバリエーションを持ち、多くの分野にまたがる重要な対象といえる。今年度の成果としては、前年度に課題となった、曲面上の平坦接続のモジュライ空間に関するフェアリンデの公式との関連に対して一つの解答を与えたこと、が挙げられる。実際、余随伴軌道の直積空間のシンプレクティック商が、曲面上の平坦接続のモジュライ空間の特別な場合とみなせることは、以前より知られていた。一方 本研究により得られた見地は、前者のトポロジーはコンパクト群の表現論によって支配されており、後者のそれは、対応するループ群あるいはアフィン・リー環の表現論によって支配される、という図式である。そして、その立場から両空間の不変量の関連を解明できた点を、本研究の意義として強調したい。後者の特性数に関するフェアリンデの公式およびウィッテンの体積公式は、ここ十年来、多くの研究がなされており、いろいろな見地からの証明が得られている。前者に関する本研究の結果は、特別な場合に限られるがフェアリンデの公式の別証を与える。さらに、結果として得られる前者の不変量の表示は、後者に対するフェアリンデの公式と一見異なる形をしている。この非自明な等式の背後には、ある種の留数公式が介在することが示唆される。この観点は組合せ論的にも興味深く、その解明については今後の課題としたい。