統計的決定理論的なアプローチによる性質の良い推定量の提案

Stein(1973)による次のような単純なアイデアに決定理論的な結果を与えた.Stein(1973)は,平均ベクトルに対して,密度関数がp次元のニュートンポテンシャルで与えられる分布と原点に対する一点分布の重み付き分布に対する一般化ベイズ推定量を,James-Stein推定量を改良している可能性がある推定量として提案した.この予想は後に密度関数がニュートンポテンシャルで与えられる事前分布に対する一般化ベイズ推定量がJames-Stein推定量を改良することが,Kubokawa(1991)によって示されるので,一点分布の重みが小さい場合には,的を得た予想である.しかし,Stein(1973)以後,決定理論的な結果については,James-Stein推定量の改良はもちろんのこと,許容性やミニマクス性でさえも証明されていなかった.我々は,Stein(1973)の事前分布を一般化し,正規分布の尺度混合分布と一点分布の重み付き分布を考えた.そして,この事前分布に対する一般化ベイズ推定量が許容的であるための必要十分条件と,ミニマクスであるための十分条件を導出した.さらに一般化ベイズ推定量について,事前分布とミニマクス性とその推定量に対するshrinkage factorの間の関係についても調べた.ミニマクスであるための十分条件は,shrinkage factorが単調でないものも許しているが,shrinkage factorが単調である方が,条件のチェックが容易であり,Faith(1978)により,shrinkage factorが単調であるミニマクスな一般化ベイズ推定量を導く事前分布のsubclassの特徴付けがされていた.一方,shrinkage factorが単調でないミニマクスな一般化ベイズ推定量を導く事前分布の特徴付けに関する結果は断片的であり,整理されていなかった.我々はshrinkage factorが,極値を1つ,あるいは2つ持つような推定量を導く事前分布のsubclassを特徴付けた.

Stein(1973)による次のような単純なアイデアに決定理論的な結果を与えた.Stein(1973)は,平均ベクトルに対して,密度関数がp次元のニュートンポテンシャルで与えられる分布と原点に対する一点分布の重み付き分布に対する一般化ベイズ推定量を,James-Stein推定量を改良している可能性がある推定量として提案した.この予想は後に密度関数がニュートンポテンシャルで与えられる事前分布に対する一般化ベイズ推定量がJames-Stein推定量を改良することが,Kubokawa(1991)によって示されるので,一点分布の重みが小さい場合には,的を得た予想である.しかし,Stein(1973)以後,決定理論的な結果については,James-Stein推定量の改良はもちろんのこと,許容性やミニマクス性でさえも証明されていなかった.我々は,Stein(1973)の事前分布を一般化し,正規分布の尺度混合分布と一点分布の重み付き分布を考えた.そして,この事前分布に対する一般化ベイズ推定量が許容的であるための必要十分条件と,ミニマクスであるための十分条件を導出した.さらに一般化ベイズ推定量について,事前分布とミニマクス性とその推定量に対するshrinkage factorの間の関係についても調べた.ミニマクスであるための十分条件は,shrinkage factorが単調でないものも許しているが,shrinkage factorが単調である方が,条件のチェックが容易であり,Faith(1978)により,shrinkage factorが単調であるミニマクスな一般化ベイズ推定量を導く事前分布のsubclassの特徴付けがされていた.一方,shrinkage factorが単調でないミニマクスな一般化ベイズ推定量を導く事前分布の特徴付けに関する結果は断片的であり,整理されていなかった.我々はshrinkage factorが,極値を1つ,あるいは2つ持つような推定量を導く事前分布のsubclassを特徴付けた.