物理数学に現れる偏微分方程式の数値解析

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物理数学に現れる偏微分方程式として保存則の方程式がある.この保存則方程式の代表例であるオイラー方程式の解析を主として行った.1年目の結果から衝撃波や希薄波をきちんととらえるためにウエーブレットを用いた数値解析が有効と思われたのでさまざまな数値実験を行った.その結果,衝撃波や希薄波をシャープに捕らえるために数値解析用の特殊なウエーブレットの開発が必要であることがわかり,現在さらに研究をおこなっている.ウエーブレットの研究においては1年目に得られた結果を更に改良する事ができた.Geronimo-Hardin-Massopustが1994年に開発したコンパクトサポートかつ対称性を持つマルチウエーブレットが持つモーメントに着目して,画像データの独自の前処理法を開発.これを用いてさまざまな圧縮比で画像圧縮を行ったところ,従来の方法よりも全ての圧縮比において平均自乗誤差の少なくなる事が数値実験の結果わかった.残念ながら従来よく使われているDaubechiesのウエーブレットと比べると平均自乗誤差は悪いものの,Daubechiesのウエーブレフトが対称性をもっていないのを考えると,対称性のあるコンパクトサポートかつ対称性を持つマルチウエーブレットを用いた画像処理は今後大きな可能性を持つと考えられ.現在さらに前処理の改良を行うと同時に,画像処理により適した新しいコンパクトサポートかつ対称性を持つマルチウエーブレットの開発に取り組んでいる.