金属結晶成長の数理モデルに現れる螺旋状進行波解の漸近解析的研究

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昨年に引き続き,ファセットと呼ばれる平らな結晶表面のらせん転位による成長を記述する数理モデルである反応拡散方程式,およびその方程式に含まれる微小パラメータを0に近づけることで得られる界面方程式の解の定性的性質を,漸近解析的手法,数値シミュレーション,および無限次元力学系の一般論を用いて理論的解析を行った.前年度は結晶表面に1つのらせん転位が存在し,しかも領域が対称である場合を考察したが,今年度は結晶表面に複数の転位が存在する一般領域の場合を取り扱った.具体的には以下のような成果を得ることができた.1.科学研究費補助金で購入した数値計算用ワークステーションによる数値シミュレーションを行い,一般領域の場合には複数のらせん状の解が相互作用しつつ時間周期的に形および速度を変化させながら成長することを数値的に確認することができた.また,初期転位の大きさ(ステップの段差)に違いがある2つのらせん転位が存在する場合には,初期転位の大きいものが小さいものをあたかも取り込んでいくかのような振る舞いをみせることも確認された.これらの数値計算結果は,シミュレーション前の予想を覆すものであり,大きな成果であった.2.数値シミュレーションの結果をもとに,モデル方程式の理論的解析を行った.モデル方程式の持つ性質を抽出することで,数値的に観察された時間周期的に形や速度を変えながら成長する解の存在および(時間シフトを除いた)一意性・時間に関する単調性・リャプノフ安定性・漸近安定性に関する理論的結果を順序保存力学系の枠組みで得ることができた.この一般化により,異方性のある結晶成長のモデルである曲率流方程式のらせん解の存在および安定性にも適用が可能になった.