2次元結び目解け予想

4次元空間内の滑らかな球面、つまり滑らかな2次元結び目の解け予想を、新たな幾何学的手法を開発することによって、解こうというのがこの萌芽研究の目的であった。まずはセルフ理論と類似の発想で、補空間の基本群が無限巡回群の場合に、その2次元結び目と自明な結び目をつなぐカスプによって生成消滅をする交わりを許した特異結び目の1助変数族を特異点理論を用いて構成するのが第1歩であり、この研究を始める以前に完成していた。次の段階、つまりこの1助変数族を簡単なものに取り替えられることを示すためには、新たな幾何学的な方法が必要とされ、その方法を模索していたのであるが、幸い研究分担者である鎌田氏が精力的に研究してきた2次元ブレイドの方法が有効であることがわかった。具体的には、まず球面が向き付け可能なことを利用して、途中ではカスプによって生成消滅をする交わりを許した特異結び目の1助変数族を特異2次元ブレイドの1助変数族に翻訳する。つぎに、特異2次元ブレイドの1助変数族をチャート表示する。すなわちチャート表示のムーブを連続的なものと考える。すると、これは3次元空間内の特殊な曲面と考えることができ、その変形は幾何学的手法によって可能となる。図らずもわれわれが目指した新しい幾何学的手法を得たので、後は実践あるのみで、滑らかな2次元結び目の解け予想の解決は時間の問題となった。

4次元空間内の滑らかな球面、つまり滑らかな2次元結び目の解け予想を、新たな幾何学的手法を開発することによって、解こうというのがこの萌芽研究の目的であった。まずはセルフ理論と類似の発想で、補空間の基本群が無限巡回群の場合に、その2次元結び目と自明な結び目をつなぐカスプによって生成消滅をする交わりを許した特異結び目の1助変数族を特異点理論を用いて構成するのが第1歩であり、この研究を始める以前に完成していた。次の段階、つまりこの1助変数族を簡単なものに取り替えられることを示すためには、新たな幾何学的な方法が必要とされ、その方法を模索していたのであるが、幸い研究分担者である鎌田氏が精力的に研究してきた2次元ブレイドの方法が有効であることがわかった。具体的には、まず球面が向き付け可能なことを利用して、途中ではカスプによって生成消滅をする交わりを許した特異結び目の1助変数族を特異2次元ブレイドの1助変数族に翻訳する。つぎに、特異2次元ブレイドの1助変数族をチャート表示する。すなわちチャート表示のムーブを連続的なものと考える。すると、これは3次元空間内の特殊な曲面と考えることができ、その変形は幾何学的手法によって可能となる。図らずもわれわれが目指した新しい幾何学的手法を得たので、後は実践あるのみで、滑らかな2次元結び目の解け予想の解決は時間の問題となった。