逐次分岐によるロバストな形態形成ダイナミクスの解明

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形態形成というダイナミクスは時間発展と共に複雑なパスを軌道が外部環境に応じて選択していく過程と見ることができる。一般に解は大変形を伴い、複数の状態を遷移的に経巡るように見える。逐一の振る舞いを記述することは困難かつ非効率であるのみならず、全体の見通しが立たない。本研究の主目的はこれに対しどのような観点を持ちうるかという問題を、逐次分岐における形態形成ダイナミクスを一つの例におきながら確立することであった。それには何を既知とし、そこにおける構造の何を調べれば問題の解明につながるかを明確にしなければならない。それは次のようにまとめられる。「秩序解全体のパラメータ依存性を調べ、その間の連結性を決定せよ」すなわち秩序解(定常解、時間周期解、カオス解)の枝の振る舞いを調べ、その安定性、不安定多様体の挙動を明らかにすることが目標となる。ここで注意するべきは「既知」としての秩序解全体というのは、着目している軌道の解(例えばパルス解)とは異なるものであり、さらにそれら秩序解は一般に極めて不安定であることである。つまり解明したい対象物とは一見関係のないもの、不安定なものを明らかにすることが肝要となる。「不安定な解全体の振る舞いを知ることから、安定な観察される軌道のダイナミクスを予想する」というここで得られた見方は遷移的ダイナミクスを理解する上で本質的である。具体的にこれを遂行するにはAUTOを始めとする数値的手法が不可欠となるが、近年の精度保証計算、位相的方法、とくにConley Indexを用いる手法等により厳密化への道も開けてきている。位相的手法は形態形成問題のみならず、材料科学、医学等への興味ある新たな「数理的非侵襲計測法」として発展するポテンシャルも秘めていることも本萌芽研究の研究の過程で明らかにされた。