ある差分方程式の解の系列に関する研究

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本研究の目的の一つとして、微分方程式や差分方程式の大域的理論の進展を図ることがあるが、その理論構築のための解析手法としても、そこで有用な働きをなす特殊関数の発見が求められる。例えば、微分方程式論における指数関数、超幾何関数、ベッセル関数など、それらを用いた展開などを通して、新たな解の性質を解析することができる。そうした事例は、数理科学や応用科学分野の諸々の理論の確立や現象の解析において非常に多く見られ、特殊関数の研究の必要性は正にここにある。さて、差分方程式の理論において、ガンマ関数は微分方程式論における巾関数の役割を果たしている。指数関数に対応する拡張として、研究代表者は、差分方程式の系列ΔΦ_p(z)≡Φ_p(z+1)-Φ_p(z)=1/(p!)z^p logz-γ_pz^p (p=-0,1,2…)を導入し、その解の系列{Φ_p(z)}について研究してきた。この解の系列は、プサイ関数の積分系列をなすものであるが、G_p(z)=exp(Φ_p(z))は古典的ガンマ関数の拡張系列である。本年は、上記の差分方程式系列の接続問題を解決し、諸々の関係式の導出をはかり、これらの特殊関数化を行うと共に、その応用に関して、数々の考察を重ねてきたが、論文の形での成果を挙げるまでに至っていない。更なる、研究の進展を図りたい。分担者達は古典的特殊関数(エアリー関数)の幾何学的意味付けに関する研究において著しい結果を挙げている。また、差分方程式の理論の研究と密接に関連する超幾何微分方程式系や不確定特異点をもつ微分方程式系の大域的理論(モノドロミー、ストークス係数)の研究においても重要な成果を挙げている。