幾何学的不変式論と極小ラグランジュ部分多様体,安定ケーラー多様体

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コンパクトケーラー多様体Mに定スカラー曲率計量,またはその特別な場合であるケーラー・アインシュタイン計量が存在するための必要十分条件を幾何学的不変式論の意味の安定性で与える研究をおこなった.ここ数年の研究により,偏極多様体にK安定性と呼ばれる安定性の概念が定義され,これが定スカラー曲率ケーラー計量が存在するための必要十分条件であろうと予想されている.今年度はこれが必要条件であることの見通しの良い証明を与えること,この結果を端的ケーラー計量の存在と安定性との関係に拡張することを研究した.まず,K安定性が定スカラー曲率計量の存在のための必要条件であることの証明は,すでにこれまでの研究を用いて得られることがわかった.これは,もし定スカラー曲率計量が存在するならばKエネルギーが下から有界であるというChenとTianによる結果と,Kエネルギーの1助変数変換群の作用のもとでの振る舞いを調べたPaulとTianの結果を用いて示される.PaulとTianの結果は改良の余地がある.次に,端的ケーラー計量の存在問題と安定性の関係を調べるためには,安定性の定義をどう拡張するかが問題となる.これについてはいくつかのアイデアがあるが,拡張された安定性を量る数値的不変量をKエネルギーの1助変数変換群の作用のもとでの振る舞いの中にどう表すかが問題となる.この困難を解決するためには上述のPaulとTianの結果の改良を精密化しなければならない.また,モーメント写像を用いた安定性の概念化の中に,こうした拡張がどう位置づけられるかを研究した.