多様体論における一意化定理の一般化

点击翻译按钮获取中文摘要

任意のリーマン多様体は次の3つの類のただ1つに属する。(P)正のスカラー曲率のリーマン計量を持つ多様体;(Z)非負スカラー曲率の計量は持つが,正のスカラー曲率の計量を持たない多様体;(N)非負スカラー曲率の計量を持たない多様体。まず(Z)に属する多様体の非負スカラー曲率の計量は必然的にスカラー曲率が恒等的に0となる計量である。また(N)に属する多様体はスカラー曲率が負になる計量を持つ。よって上の三種により多様体を分類することは一意化定理の一般化である。多様体が正のスカラー曲率を持つスピン多様体なら,α-不変量と呼ばれる位相的不変量が0となる。逆に多様体が非スピンか,又はα-不変量が0となるスピン多様体なら正のスカラー曲率を持つ。(Z)の類はRicci-flat Kahler多様体とSpin(7)をホロノミーにもつ多様体でα-不変量が0となるものの積となる。