一般形状領域に対する離散フーリエ解析と数理生物学への応用

離散フーリエ解析は、画像情報の空間周波数分析や各種信号のノイズ除去に利用されるなど、様々な研究分野で重要な位置を占めている。しかしながら、一般形状の境界を持つ領域上で与えられた信号を扱う場合、境界上での信号の不連続性に起因するギブス現象が、従来の離散フーリエ解析における大きな妨げとなっていた。本研究では、一般形状の境界を持つ領域内で与えられた信号に対し、領域内における入力信号の平均曲率によって作られるポテンシャルを用いて、入力信号の離散フーリエ解析を試みる新たな手法を提案した。本研究で提案したオブジェクトベースの離散フーリエ解析においては、オブジェクト境界における信号値とその法線方向微分値を用いた境界積分によって定義される単一層ポテンシャルおよび二重層ポテンシャルを用いてオブジェクト境界上での信号の不連続性に起因するギブス現象を軽減している。オブジェクトベースの離散フーリエ解析に用いるポテンシャルは、平均曲率の意味では、領域内において入力信号と等価である。ポテンシャルと原信号との差は、境界値のみから決まる調和関数であり、これは、任意形状のオブジェクトを離散的に表現する効果的な数理モデルとなり得ることを示唆している。この点をふまえ、複数のオブジェクトからなる入力信号から特定のオブジェクトを取り出し、その情報を解析・処理するような問題に対する応用についても検討した。

離散フーリエ解析は、画像情報の空間周波数分析や各種信号のノイズ除去に利用されるなど、様々な研究分野で重要な位置を占めている。しかしながら、一般形状の境界を持つ領域上で与えられた信号を扱う場合、境界上での信号の不連続性に起因するギブス現象が、従来の離散フーリエ解析における大きな妨げとなっていた。本研究では、一般形状の境界を持つ領域内で与えられた信号に対し、領域内における入力信号の平均曲率によって作られるポテンシャルを用いて、入力信号の離散フーリエ解析を試みる新たな手法を提案した。本研究で提案したオブジェクトベースの離散フーリエ解析においては、オブジェクト境界における信号値とその法線方向微分値を用いた境界積分によって定義される単一層ポテンシャルおよび二重層ポテンシャルを用いてオブジェクト境界上での信号の不連続性に起因するギブス現象を軽減している。オブジェクトベースの離散フーリエ解析に用いるポテンシャルは、平均曲率の意味では、領域内において入力信号と等価である。ポテンシャルと原信号との差は、境界値のみから決まる調和関数であり、これは、任意形状のオブジェクトを離散的に表現する効果的な数理モデルとなり得ることを示唆している。この点をふまえ、複数のオブジェクトからなる入力信号から特定のオブジェクトを取り出し、その情報を解析・処理するような問題に対する応用についても検討した。