Wickカリキュラスとその偏微分方程式論への応用

点击翻译按钮获取中文摘要

双曲型作用素に対するCauchy問題のC^∞適切性について考察した。昨年度に引き続き、主要部が正準変換によってファイバー方向の変数のみに依存するシンボルに変換されるような双曲型作用素(概定数係数の主部をもつ双曲型作用素と呼ばれる)に対するCauchy問題を研究し、C^∞適切のための必要十分条件を得た。また、2階の双曲型作用素で係数が時間変数にのみ依存する場合に、例えば係数が解析であるとき、Cauchy問題がC^∞適切であるための十分条件を得た。さらにこの条件が空間次元が2であるか、または係数が(半)代数函数である場合には必要条件にもなっていることを示した。必要条件については低階項が空間変数に依存する場合も込めて、条件をPuiseux級数(Newton Polygon)を用いて記述し、例えば空間次元が2の場合に、この必要条件から十分条件が導けることを示した。これらの研究では、時間函数がHolder連続である場合を考える必要がある(Lipschitz連続の場合には、十分条件に関しては既に結果を得ている)。その際、Wickカリキュラスの適用の可能性も含めて研究をおこなってきた。しかしながら、現時点では、双曲型作用素のエネルギー不等式の導出にWickカリキュラスの有用性を検証することはできなかった。シンボルが滑らかでない作用素に対するエネルギー評価の研究において、Wickカリキュラスの重要性を実証していくことを、今後の課題の一つとしたいと考えている。