α行列式と行列変数ゼータ関数の不変式論

α-行列式の表現論を不変式論,特殊関数の観点から展開した.α=-1のときは,α-行列式は通常の行列式に他ならず,そのGLn-巡回加群は1次元(既約)表現である.α=1のときは,α-行列式はパーマネントであり,そのGLn-巡回加群は対称テンソルが定める既約表現となる.したがって,一般のαに対して,α-行列式が定めるGLn-巡回加群は,これら2つの既約表現を補間するものである.本年度は昨年に続き,とくにα-行列式の整数べきが定めるGLn-巡回加群の研究を行った.(1)αがgenericのとき,当該加群は全テンソル代数のべき次対称テンソルのn次対称テンソル空間と同値になり可約である.従ってその既約分解の各既約表現の重複度はKostka数で与えられる.(松本詔・若山)(2)αがgenericでないときには,当該加群は退加するが,その退加の様子を記述するために,ある多項式係数の行列(遷移行列)を研究した.(n=2のとき,遷移行列は1次となり,Jacobi多項式で与えられる.さらに,その根が退化パラメータαを与える.)また,n〓3の場合の例の計算を行った.(3)木本-史とともに,べきが1のときには,一般のnに対し,退化パラメータαは最高ウェイト(ヤング図形)に対するコンテント多項式で与えられることを示した.また,この退化パラメータαに対して,(リース行列式なる概念を定義し)新しい不変式論を展開した.その他、特殊リース行列の研究を開始した.

α-行列式の表現論を不変式論,特殊関数の観点から展開した.α=-1のときは,α-行列式は通常の行列式に他ならず,そのGLn-巡回加群は1次元(既約)表現である.α=1のときは,α-行列式はパーマネントであり,そのGLn-巡回加群は対称テンソルが定める既約表現となる.したがって,一般のαに対して,α-行列式が定めるGLn-巡回加群は,これら2つの既約表現を補間するものである.本年度は昨年に続き,とくにα-行列式の整数べきが定めるGLn-巡回加群の研究を行った.(1)αがgenericのとき,当該加群は全テンソル代数のべき次対称テンソルのn次対称テンソル空間と同値になり可約である.従ってその既約分解の各既約表現の重複度はKostka数で与えられる.(松本詔・若山)(2)αがgenericでないときには,当該加群は退加するが,その退加の様子を記述するために,ある多項式係数の行列(遷移行列)を研究した.(n=2のとき,遷移行列は1次となり,Jacobi多項式で与えられる.さらに,その根が退化パラメータαを与える.)また,n〓3の場合の例の計算を行った.(3)木本-史とともに,べきが1のときには,一般のnに対し,退化パラメータαは最高ウェイト(ヤング図形)に対するコンテント多項式で与えられることを示した.また,この退化パラメータαに対して,(リース行列式なる概念を定義し)新しい不変式論を展開した.その他、特殊リース行列の研究を開始した.