不変量が自明な4次元多様体の研究

結び目が解けるための必要十分条件は、2次元滑らか結び目以外に関しては既に良く知られている。本研究は2次元滑らか結び目に対しても同じ条件、つまり補空間のホモトピー型が自明な場合と同じという条件が、結び目が解けるための必要十分条件であることを示そうという研究である。またそれを発展させて不変量が自明な4次元多様体の研究を試みようというものである。既に以前からの研究によって、交点を許した2次元結び目の1助変数族を構成することができている。それを2次元ブレイドの1助変数族に変換するところがマルコフ型定理であって、まずそれを示すことが必要であるが、基本的なアイデアは交点のない場合と同じであり、分担者鎌田の担当であり、論文執筆中である。一方、こうしてできた特異2次元ブレイドの1助変数族をチャート表示することはカスプを両端に固めることに依って、自然にうまくいくことが判明した。しかし、1助変数族が単純な特異2次元ブレイドのみでないことからくる困難の解決が必要であるが、これに対し、まずは変形全体の安定化を図った後、交点の1助変数族である交線に沿って最高次の自明線分をカスプの直前まで下げてくることが可能であることを証明することが出来、この大問題に関する困難が期待以上の単純さで解決できた。これによって、一端が自明なブレイド、交線は1つ、しかも単純なブレイドで結ばれている場合にのみ、2次元滑らか結び目解け予想が解けることを示せばよくなったのである。しかも、この場合にも証明手段が見つかったと考えている。

結び目が解けるための必要十分条件は、2次元滑らか結び目以外に関しては既に良く知られている。本研究は2次元滑らか結び目に対しても同じ条件、つまり補空間のホモトピー型が自明な場合と同じという条件が、結び目が解けるための必要十分条件であることを示そうという研究である。またそれを発展させて不変量が自明な4次元多様体の研究を試みようというものである。既に以前からの研究によって、交点を許した2次元結び目の1助変数族を構成することができている。それを2次元ブレイドの1助変数族に変換するところがマルコフ型定理であって、まずそれを示すことが必要であるが、基本的なアイデアは交点のない場合と同じであり、分担者鎌田の担当であり、論文執筆中である。一方、こうしてできた特異2次元ブレイドの1助変数族をチャート表示することはカスプを両端に固めることに依って、自然にうまくいくことが判明した。しかし、1助変数族が単純な特異2次元ブレイドのみでないことからくる困難の解決が必要であるが、これに対し、まずは変形全体の安定化を図った後、交点の1助変数族である交線に沿って最高次の自明線分をカスプの直前まで下げてくることが可能であることを証明することが出来、この大問題に関する困難が期待以上の単純さで解決できた。これによって、一端が自明なブレイド、交線は1つ、しかも単純なブレイドで結ばれている場合にのみ、2次元滑らか結び目解け予想が解けることを示せばよくなったのである。しかも、この場合にも証明手段が見つかったと考えている。