2次元結び目解け予想の解決

結び目が解けるための必要十分条件は、2次元滑らか結び目以外に関しては、既に与えられている。本研究は2次元滑らか結び目に対しても同じ条件、つまり補空間のホモトピー型が自明な場合と同じという条件が、結び目が解けるための必要十分条件であることを示そうという試みである。既に以前の研究によって、交点を許した2次元結び目の1-助変数族を構成することができている。それを2次元ブレイドの1-助変数族に変換するところが、マルコフ型定理の拡張であってまず大問題である。この点については、研究分担者が中心になって基本的なアイデアを実行し、2月のトポロジー広島研究集会で発表を行った。現在内容を執筆中である。一方、こうしてできる特異2次元ブレイドの1-助変数族をチャート表示すること自体にも、1-助変数族が単純な特異2次元ブレイドのみでないことからくる困難があったが、昨年度の研究に引き続いた研究によって、それも解決された。いずれにしても一端が自明な結び目であることを用いて、2次元ブレイドの1-助変数族の高さの取替え法を確立し、自己交差の成分数を減らす方法を研究する必要がある。しかしながら、今年度の研究によって、1-助変数族が単純な特異2次元ブレイドのみであった場合にも基本的な問題が存在することが判明した。その解決には至っていないが、これまでの研究で状況は明確に成っており、証明を完結するにはブレイド群の特定の元との交換群を代数的に研究し、更に幾何的な考察も必要であると考えられる。

結び目が解けるための必要十分条件は、2次元滑らか結び目以外に関しては、既に与えられている。本研究は2次元滑らか結び目に対しても同じ条件、つまり補空間のホモトピー型が自明な場合と同じという条件が、結び目が解けるための必要十分条件であることを示そうという試みである。既に以前の研究によって、交点を許した2次元結び目の1-助変数族を構成することができている。それを2次元ブレイドの1-助変数族に変換するところが、マルコフ型定理の拡張であってまず大問題である。この点については、研究分担者が中心になって基本的なアイデアを実行し、2月のトポロジー広島研究集会で発表を行った。現在内容を執筆中である。一方、こうしてできる特異2次元ブレイドの1-助変数族をチャート表示すること自体にも、1-助変数族が単純な特異2次元ブレイドのみでないことからくる困難があったが、昨年度の研究に引き続いた研究によって、それも解決された。いずれにしても一端が自明な結び目であることを用いて、2次元ブレイドの1-助変数族の高さの取替え法を確立し、自己交差の成分数を減らす方法を研究する必要がある。しかしながら、今年度の研究によって、1-助変数族が単純な特異2次元ブレイドのみであった場合にも基本的な問題が存在することが判明した。その解決には至っていないが、これまでの研究で状況は明確に成っており、証明を完結するにはブレイド群の特定の元との交換群を代数的に研究し、更に幾何的な考察も必要であると考えられる。