無限アーベル群論へのトポロジーの応用の研究

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位相空間から離散整数群Zへの連続関数全体がつくるアーベル群とその双対群,および位相空間Xから完備な非アルキメデス的付値体Kへの有界連続関数全体が作るK上のバナッハ空間BC(X)について研究し,次の成果を得た。1.連続体仮説の強い否定2^ω>ω_ωの下で,強い意味で反射的でないアーベル群のZ-鎖,すなわち,すべてのn〓Zに対し,A_nの双対群がA_<n+1>でありA_nはA_<n+2>と同型でないようなアーベル群の集合{A_n:n〓Z},が存在することを証明した。ここで,各A_nは整数値連続関数の群とその双対群である。この結果はA.MeklarとP.C.Eklof[Almost Free Modules,North Holland(1990)]による問題に,2^ω>ω_ωの仮定の下で肯定的に答える。このようなZ-鎖の存在がZFCの中で証明できるかどうかは今後の課題である。2.位相空間X上の自由位相群F(X)と可換な自由位相群A(X)について次の結果を証明した。F(X)が,実数空間,有理数全体,無理数全体,カントル集合や可算離散空間のStone-Cechコンパクト化を含めば,Xもまたそれらの空間を含む。自明でない収束列を含まない位相空間Xで,F(X)は自明でない収束列を含むものが存在する。F(X)が可算順序数全体の空間ω_1を含むとき,Xがω_1を含むかどうかはZFCでは決定できない。3.完備な非アルキメデス的付値体上のバナッハ空間BC((1^∞)_1)はc_0と線形位相同型な直交補空間を持つ。BC((c_0)_1)は1^∞と線形位相同型な直交補空間を持つ。