位相的方法を用いたア-ベル群の研究

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O次元位相空間Xから離散位相を持つ有理整数環Zへの連続関数全体が作るア-ベル群C(X,Z)について研究し,次の成果を得た。1.C(X,Z)の代数的構造とXの位相的性質の間に,次のような関係が存在することを証明した。(1)C(X,Z)が階数Kの自由群を直和因子として持つこと,C(X,Z)^*が直積Z^Kを部分群として含むこと,及びXの極大Nーコンパクト化BNXがW(K)≧Kであるコンパクト集合Kを含むことは,任意のO次元空間Xに対して互いに同値である。(2)C(X,Z)が直積Z^Kを直和因子として持つことと,Xが開かつ閉な集合からなる濃度Kの分割を持つことは,任意のO次元kNー空間Xに対して互いに同値である。2.上の1の結果を用いて,A=C(X,Z)自身が双対群であって強い意味で反射的でない(即ち,AとA^<**>が同型でない)ような種々のXを構成した。この結果は,P.C.EKIofとA.H.Meklerによるテキスト“Alomost free modules"の中で提起された問題に対する解答である。3.有理数の空間Qと無理数の空間〓に対し,ア-ベル群C(Q,Z)とC(〓,Z)が同型でないことを証明した。4.一般のア-ベル群Aについて,双対群A^*直積Z^Aの部分群であるが,いまZ^Aに積位相を与え,A^*にその相対位相を与える。この弱*位相に関して,次の(1)と(2)を証明した。(1)Aが階数Kの自由群を直和因子として持つことと,A^*がW(K)≧Kであるコンパクト集合Kを含むことは互いに同値である。(2)可分でねじれのないア-ベル群Aに対して,A^*は(2^<〓0>)^+chain conditionをみたす,即ち,A^*は開かつ閉な集合からなる連続体濃度より大きい分割を持たない。