無限アーベル群論へのトポロジーの応用の研究

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主に次の3点について成果を得た.1.零次元位相空間Xから整数環〓への連続関数全体の作る群C(X, 〓)が自由加群であるためには, Xが疑コンパクトであることが必要十分であること, 及びC(X, 〓)が〓の直積であって, Xが非可測濃度のとき, Xは離散空間であることを証明した. 第2の結果で, Xが可測濃度のときどうなるかは今後の課題である.2.上で述べた群A=C(X、〓)について、A^<**>=Hom(Hom(A、〓)、〓)がAと同型でないような位相空間Xはたくさん存在することが分った。またA*が^<*A***>と同型でないような位相空間Xが存在するかという問題について、反例の有力な候補となる位相空間を見つけた。これが実際に反例を与えることを証明するには至らなかった。3.群C(X, 〓)とXから非アルキメデス的付値体Kへの有界な連続関数が作るK上のBanach空間BC(X, K)の性質の類似性を或る程度明らかに出来た. 特に, van der PatによるBC(X, K)に関する重要な定理のいくつかが群C(X, 〓)に対する定理と共通の方法によって証明されることを示した.以上の結果は裏面の図書欄の論文に発表予定である. 更に研究の副産物として, 次の〓点の結果を得た.4.距離空間のクラスを真に含んで, M_1-空間のクラスに含まれるクラスで, 部分空間, 可算積, 完全写像による像をとる操作の下で閉じているものを発見した.5.積空間X×Yの零集合がいつ積空間X×BYの零集合に拡張されるかという問題について, いくつかの結果を得た.6.その上の任意のBaire測度が, 正則なBarel測度に拡張されるような位相空間の性質を明らかにした.