特異的な領域変形と電磁気におけるスペクトル摂動問題

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マクスウェル方程式の主要部をなす楕円型作用素にたいして境界条件と関数空間の中に適切な定義域を与え扱いやすい自己共役作用素のスペクトル問題として定式化した.この作用素のスペクトルをヒルベルト空間論の枠組みで解析し離散性を示し固有振動数の摂動問題を設定した.従来の楕円型作用素の固有値の摂動理論を同様にミニマックス法による固有値の特徴付けを行い,さらに精密な固有関数を作成して固有値の摂動公式を弱形式の方程式から導く方法によって研究した.(i)3次元の場合に領域に球状の穴がある揚合に固有振動がシンプルのとき摂動公式を証明に成功し現在論文を作成中.次に欠陥部分の次元を上げて曲線の細い管状近傍を取り除いた領域上で同じ問題を考え,固有振動数の第ゼロ近似を示した.以上はシンプルの場合であるが重複の場合は関数空間の近似固有空間を構成して同様の問題をブロック毎に行えば良いことが判明した.(ii)領域が部分退化する場合の同じ問題を扱った.この場合はまずダンベル型領域およびパンケーキ+ドーナツ領域の場合に上記と同様に第ゼロ近似の収束を証明した.(i)と同様の方程式の弱形式の方法で摂動公式を得る見通しを得た.本研究と関連して行っているラプラシアンのノイマン条件のスペクトル摂動問題であるが,領域退化に関して共鳴型固有値の摂動公式をほぼすべての場合について完全に証明したことが大きな成果である.これについても論文作成中であるが分量が大きくまだ完成していない.この成果で得た方法は本研究(i),(ii)についても適用できる公算が大きく、さらなる発展に結びつくことが予見される.