ル-プ空間上の調和解析の総合的研究

本研究の目的は、ル-プ空間及びル-プ群に関する研究を、解析、代数、幾何の接点である調和解析という観点から行うことにあった。まだまだ満足できる水準に達していないが、いかに研究実績を述べる。1.基本となるル-プ空間上のドラ-ムコホモロジ-についてはかなりのことがわかった。ドラ-ム・ホッジのプララス作用素に対する調和形式の空間からドラ-ムコホモロジ-の空間への自然な写像が定義できそれが0、1次の場合は全単射であり、2次以上では全射であることを示すことができた。また余次元有限の微分形式やホッジの星型作用素も定義することができ、写像度定理も証明することができた。中間次元の微分形式を定義し、適当なラプラス作用素を定義することに関しても研究は現在進行している。ラプラス作用素のスペクトルについての研究は余り進まなかった。2.ル-プ群上ではドルボ-コホモロジ-が重要である。これについて、まずホッジ・小平の複素ラプラス作用素を定義することができた。次に問題になるのはコホモロジ-の消滅定理である。これに関しては擬凸領域を定義してその上でコホモロジ-が消滅していることを示すことが第一歩となるが、研究は現在進行中である。ル-プ群の1次のドルボ-コホモロジ-は消滅していると予想されているが、それを証明するまでにはいたらなかった。また表現論からの考察も十分な成果を得ていない。

本研究の目的は、ル-プ空間及びル-プ群に関する研究を、解析、代数、幾何の接点である調和解析という観点から行うことにあった。まだまだ満足できる水準に達していないが、いかに研究実績を述べる。1.基本となるル-プ空間上のドラ-ムコホモロジ-についてはかなりのことがわかった。ドラ-ム・ホッジのプララス作用素に対する調和形式の空間からドラ-ムコホモロジ-の空間への自然な写像が定義できそれが0、1次の場合は全単射であり、2次以上では全射であることを示すことができた。また余次元有限の微分形式やホッジの星型作用素も定義することができ、写像度定理も証明することができた。中間次元の微分形式を定義し、適当なラプラス作用素を定義することに関しても研究は現在進行している。ラプラス作用素のスペクトルについての研究は余り進まなかった。2.ル-プ群上ではドルボ-コホモロジ-が重要である。これについて、まずホッジ・小平の複素ラプラス作用素を定義することができた。次に問題になるのはコホモロジ-の消滅定理である。これに関しては擬凸領域を定義してその上でコホモロジ-が消滅していることを示すことが第一歩となるが、研究は現在進行中である。ル-プ群の1次のドルボ-コホモロジ-は消滅していると予想されているが、それを証明するまでにはいたらなかった。また表現論からの考察も十分な成果を得ていない。