楕円曲線上の有理点の研究

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楕円曲線Y^2=X^3+aX^2+bXの有理点をもとめる問題をb=pqとなるp,qを用いてデイオファントス方程式pr^4+ar^2s^2+qs^4=t^2の整数解をもとめる問題に帰着させるTateの定理を援用する。この定理をとくにb=1の場合に利用してオイラー以来考察されている方程式r^4+dr^2s^2+s^4=t^2の整数解をコンピュータを使って計算した。この方程式を二つの2次の不定連立方程式に帰着させるPocklington-Brownの方法をさらに発展させ、d-2,d+2のいづれかが素数で他が二つの素数の積のときに、積因子の素数を2次形式で表わしたものに対して上り迅速にもとめるアルゴリズムを考案した。このアルゴリズムにより、Brownの用いた方法では大変解の〓出が困難になるものもかなり容易に求まることが判り、コンピュータでもとめた解の表の一部を第二面の論文にのせてある。この方法でも解をもとめることが困難となる場合があり現在も鋭意その探索に意をそそいでいるが、そのためには高速なコンピュータとより言語が必要となる。解を求めえた場合は解が必ず存在するという予想であるが残念乍らその証明にまでは至っていないが解の非存在を予言することは或程度見通しが立ち、そのためのいくつかの命題については上記論文中に述べてある。また現在は、Hesse-Deuring型の楕円曲線Y^2+CXY+dY=X^3の有理点の探索も手がけているが、前のとは別の手法が必要である。この楕円曲線はSylvesterの考察したディオファンテス方程式と関連して居り興味深く重要である。