三角和の評価とその応用

三角和は特に数論の解析的理論の研究から生まれて今日まで発達して来たが、近年はその応用範囲が広がり、従来にはなかったような領域にまで及ぶようになった。本研究においては、まず解析学の古典的な手法例えば総和法の典型的な定理のいくつかが、どのように有限和(三角和)を積分の評価に転化するのに有効であるかを示すことを一つの目標とした。特に一様分布論への応用を中心としたが、そこでは研究代表者の従来からの研究によって、総和法とそのタウバー型定理が重要な役割を果たすことが知られている。そこで本研究では、それまでの研究には現われなかった新しいタイプの判定定理を得るために、総和法と素数定理とを結び付けることを考え、実解析の範囲内で証明できる新しい結果を得た。その成果の一部が、研究発表欄(裏面)にある論文に収められている。本研究の他の目標は、エルゴード理論がどのように一様分布論に有効であるかを明かにすることであったが、これは従来の古典的な研究において考察された問題におけるよりも、上記のような新しいタイプの問題においてこそ真価が発輝されるものと考えた。同時に、当然そこではエルゴード理論の結果自身の適当な変形、修正も必要となるので、ひとまず元の問題を離れてエルゴード理論内部における新しい展開を計った。その結果、一様分布論における上記問題よりも更に一般な形の問題に対するタウバー型定理のような精密な形の結果は得られなかったので、これが今後の課題の一つであると思われる。

三角和は特に数論の解析的理論の研究から生まれて今日まで発達して来たが、近年はその応用範囲が広がり、従来にはなかったような領域にまで及ぶようになった。本研究においては、まず解析学の古典的な手法例えば総和法の典型的な定理のいくつかが、どのように有限和(三角和)を積分の評価に転化するのに有効であるかを示すことを一つの目標とした。特に一様分布論への応用を中心としたが、そこでは研究代表者の従来からの研究によって、総和法とそのタウバー型定理が重要な役割を果たすことが知られている。そこで本研究では、それまでの研究には現われなかった新しいタイプの判定定理を得るために、総和法と素数定理とを結び付けることを考え、実解析の範囲内で証明できる新しい結果を得た。その成果の一部が、研究発表欄(裏面)にある論文に収められている。本研究の他の目標は、エルゴード理論がどのように一様分布論に有効であるかを明かにすることであったが、これは従来の古典的な研究において考察された問題におけるよりも、上記のような新しいタイプの問題においてこそ真価が発輝されるものと考えた。同時に、当然そこではエルゴード理論の結果自身の適当な変形、修正も必要となるので、ひとまず元の問題を離れてエルゴード理論内部における新しい展開を計った。その結果、一様分布論における上記問題よりも更に一般な形の問題に対するタウバー型定理のような精密な形の結果は得られなかったので、これが今後の課題の一つであると思われる。