摂動展開の高次の振舞いと総和法の研究

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当研究の目的は,量子論における摂動展開の情報と真の値との関係の研究,および前者から後者を取り出す方法(総和法)の開発にある.この点に関して当該年度は,i)delta expansionまたはorder dependent mappingと呼ばれる総和法に関して,我々が以前行った収束証明をさらに拡張し,非調和振動子のエネルギー固有値の摂動展開が結合定数が複素数の場合にも真の値への収束系列を与える事を厳密に証明した.さらにこの方法が収束するための一般的な十分条件を与えた.これは従来知られていたこの方法の経験的成功の理由を論理的に明確にしたと同時に,通常の摂動展開からトンネル振幅を計算するという全く新しい可能性を強く示唆している点で非常に興味ぶかいと思われる.ii)量子論でのトンネル効果は通常の摂動級数をボレル和不可能にする事が知られているが,この点を改良する経路積分の処方箋が青山と田村によって提案された.我々はの方法に対する解析的系統的計算法を初めてはっきりとした形で与えた.さらにこの計算方法に基づいて,この方法は系の体積が無限大の時は期待に反してボレル和不可能性は改良されない事を示した.iii)上で我々が非調和振動子にたいして収束を証明したorder dependent mappingの方法を強電場中の水素原子のエネルギー固有値(Stark効果)に適用する数値実験を行った.この系の準基底状態はトンネル効果のために不安定であり,これに対応して通常の摂動級数はボレル和不可能になっている.この摂動級数にorder dependent mappingの方法を適用する事で真のエネルギー固有値(この場合には複素数)が高い精度で再現できる事を示した.この系ではエネルギー固有値の解析的構造がよくわかっていないために収束の証明自身は今の所できていないが,通常非摂動論的とみなされているエネルギー固有値の虚部が摂動級数の情報だけから再現できるのは非常に興味ぶかい.iv)さらに繰り込み不可能な理論への一つのアプローチに関連して2+ε次元での繰り込み群関数とε→2の極限の解析を行った.