保型的L関数及び新谷関数の研究

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1.大域的新谷関数について古典群の標準的L関数の解析接続・関数等式を行列サイズに関して帰納的に証明するプログラムを我々は既に提示し、直交群の場合にはある種の技術的条件下で証明した。これには、Rankin-Selberg convolution の新谷関数による表示が本質的役割を果たす。今年度、一般の総実代数体上の総正定値(maximal)偶対称行列に対して、技術的仮定を取り去ることに成功し、完全な結果を得た。2.局所新谷関数について分解型の直交群に対し、局所新谷関数の存在と一意性を証明した。そのためには(通常のCartan分解とは異なり、片側が一つサイズの小さい直交群の極大コンパクト群である)一般化されたCartan分解が最も重要な役割を果たした。3.Whittaker-Shintani 関数について直交群の保型表現と一般線型群の保型表現のテンソルL関数を考察するために、球関数の一般化である新谷関数だけでなく、更にユニポテントな元の作用をも込めたWhittaker-Shintani 関数を定式化し、既に部分的成果を得ている。存在、一意性についての結果も部分的に得た。4.今後の問題大域的議論を行うためには、分解型の条件は強すぎ、この弱い形に対しても局所新谷関数の存在や一意性を示すことが望ましい。また、ユニタリ群の場合に帰納法を完全に働かせるための整数論的考察が重要となる。