力学系の理論とリーマン幾何学

动力系统理论和黎曼几何

基本信息

批准号：
06640130
负责人：
岩井敏洋
金额：
$ 0.45万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1994
资助国家：
日本
起止时间：
1994 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-06640130/
关键词：
一般化Taub-NUT計量多重Kepler系

项目摘要

R^4-{0}において定義されるTaun-NUT計量の一般化の研究の中から多重Kepler系と名付けられる力学系を発見した。この力学系はT^*(R^3-{0})で定義される古典力学系で、多重度を表す正の実数をパラメターとしてもち、それが有理数ならすべての有界軌道は閉じるが、無理数なら軌道は閉じない。また、閉軌道の回転数はその有理数で決まる。すべての正の有理数νに対して多重Kepler系が定義され、特にν=1の場合には普通のKepler系に一致する。また、νが整数ならこの系はRunge-Lenzベクトルに似た保存量をもつことも証明した。このように多重Kepler系は、普通のKepler系を含む無限系列のKepler型力学系を与えるという意味で注目に値するだろう。この研究の背景にはHopfバンドルR^4-{0}→R^3-{0}がある。構造群SO(2)の作用で不変なようにTaub-NUT計量を2つの未知関数を含む形で一般化しておいて、その測地流のハミルトン力学系を簡約化するとT^*(R^3-{0})でのハミルトン系が得られるが、この力学系のすべての有界軌道が閉じるように2つの未知関数を決定するという手続きで多重Kepler系が発見された。逆にTaub-NUT計量の一般化も図られたことになる。この一般化Taub-NUT計量がEinstein計量であるための必要十分条件も計算した。さらに、多重Kepler系を量子化し、そのエネルギー固有値を見いだし、多重Kepker系の多重度パラメータが有理数か無理数かにしたがって固有値の多重度(縮退度)に違いが現れることなど、本研究の発展にとりかかっている。

在r^4- {0}中定义的taun-nut指标的概括研究中，发现了一个名为多重开普勒系统的动态系统。该动态系统是由T^*（r^3- {0}）定义的经典机械系统，它使用代表多重性作为参数的正实数，如果它是有理数，则所有有限的轨道都关闭，但是如果它是一个不合理的数字，则轨道不会关闭。此外，闭合轨迹的旋转数量由有理数确定。为所有正理性数ν定义了一个多重开普勒系统，尤其是当ν= 1时，它与普通的开普勒系统匹配。它还证明，如果ν是整数，则该系统的保守量类似于Runge-Lenz向量。因此，多个开普勒系统值得注意的是，它们提供了一系列无限的开普勒型机械系统，包括普通的开普勒系统。这项研究的背景是Hopf Bundle r^4- {0}→r^3- {0}。通过将taub-nut计量概括为包含两个未知功能的结构组（2）的作用，并简化了地球流动流的哈密顿量力学，我们可以在t^*（r^3- {0}）处获得一个哈米尔顿体系，但是通过多个开关的机构确定了两个范围的功能，该机构已被确定了两个，或者确定了两个范围的功能。相反，也已将Taub-nut计量概括。还计算了这种通用的陶布纳特计量的必要条件，即作为爱因斯坦计量。此外，我们正在开发这项研究，例如量化多个开普勒系统，找到它们的能量特征值，并根据多重kepker系统是理性的还是不合理的数字，在特征值的多重性（退化程度）上找到差异。