外部領域におけるナビエ・ストークス方程式の数理解析

点击翻译按钮获取中文摘要

Navicr-Stokcs方程式の外部問題は、内部問題と比較して、単に取り扱いがより複雑であるというとには留まらず、解の無限遠方での漸近挙動の与え方により、方程式の適切性が著しく異なるので、大変興味深い結果が得られた。「境界で静止しかつ無限遠方で一定の速度で動くようなStokcs方程式の解は存在しない」という有名なStokcsのパラドックスはその典型である。本研究では、このパラドックスがStokcs作用素A^1を一階の偏導関数がr-乗可積分(∇u∈L´)であるhomogeneous Sobolev空間において考察し、その核が自明なものに限るか?という問題と同値であることに着目し、2次元だけではなく多次元においても同様なパラドックスが成り立つことを証明した。この事実はNavicr-Stokcs方程式の外部問題を線形Stokcs方程式の摂動として捉えることの限界を示している。実際、A^1が全単射である必要十分条件は3次元外部領域の場合、3/2<r<3であることは特異な現象を生じることが解明された。すなわち、∇u∈L^<3/2>なる解が存在するための必要十分条件は領域Ωの境界Γによるdrag forccがゼロ“∫r Dcf u・v dS=O"である。ここにDcf uは速度場uによるdcformation tcnsorであり、vは境界Γの単位法線ベクトルである。一方、Navier-Stokcs方程式はスケール則があり、上記の∇u∈L^<3/2>なるクラスはスケール変換で不変な関数空間である。従ってこの空間で解を求めることは重要である。いささか物理的には不自然であるが、このクラスの安定性を示すことに成功した。その際、代表者による関数空間の以前の研究が大きな役割を果たした。