志村対応の一般化

まずweight1/2,degree2のSiegel modular wave formについてわかったことを書きます。fがTo(4N),eharacter Xのweight1/2,degree 2のwave formとすると,fはWhittaker Fourier展開される。その展開の係数をa^<(m)>_nと書く。(正確な定義は数理研講究録843参照)Friedberg,Wong(Math Ann290)は、Σ_<m20> Σ_<h>o>an^^<(m^2)>(mn)^<-s>を考えこれがstandard Lであることを示している。T(1,P,P^2,P)f=λ_pf,T(1,1,P^2,P^2)f=w_Pfとするときfのstandard LとはП__p(1+(-w_P-P^<-4>+P^<-2>)P^<-S>+P^<-6>(λ^2_PP^8-2p^4w_p-2)p^<-2s>-P^<-8>(P^4w_P-P^2+1)P^<-3s>+P^<-8>P^<-4s>)のことで、П__p(1-λ_PP^<5/2> P^<-s>+(P^<-3>(1+P^2)+Pw_P)P^<-2S>-λP^<3/2> P^<-3s>+P^<-4s>)=Lf(s)の方をfのspin Lとよぶ。次のことはわかった。Σ_<n,n2> Σ_<mln,mln2> a^<(m^2)>_<(m^2)/(n_1n_2)> m^<-1>n_1^<-(s_2+s_1)+1/2>n_2^<-(s_2-s_1)+3/2>=Df(s_1,s_2)=a^<(1)>,L_f(s_1+s_2+1)L_f(s_2-s_1)П__p{(1-P^<-2s_2-2>)(1-P^<-5/2>(P^<-(s_2+s_1)+1/2>+P^<-(s_2-s_1)+3/2>)+P^<-2s_2-3>)}この級数は講突録843の中にある最後の級数にS(2s_1+2)をかけたものである。従ってSp(2、FR)のminimal parabolic subeqpのEisenstein級数をE(Z,s_1,s_2)としθ_2(Z)=Σ_<m,n>exp(2πi[^m_n]とすると∫_<H_2>f(Z)θ_2(Z)E(Z,s_1,s_2)d_0Zという積分表示をもち、またweight 0のdegree2のwave form To(4N)に対応している。このことは1995年春の学会で発表した。holomorphicな場合はあと1,2ヶ月時間が必要だが、θ(Z)=Σm exp(2πi m^2Z)のときθ^2(Z)からklingen typeのEisenstein組数を作りこれをE(Z,s_1,s_2)の代りに使うとよいように思われる。出来しだい公表したい。

まずweight1/2,degree2のSiegel modular wave formについてわかったことを書きます。fがTo(4N),eharacter Xのweight1/2,degree 2のwave formとすると,fはWhittaker Fourier展開される。その展開の係数をa^<(m)>_nと書く。(正確な定義は数理研講究録843参照)Friedberg,Wong(Math Ann290)は、Σ_<m20> Σ_<h>o>an^^<(m^2)>(mn)^<-s>を考えこれがstandard Lであることを示している。T(1,P,P^2,P)f=λ_pf,T(1,1,P^2,P^2)f=w_Pfとするときfのstandard LとはП__p(1+(-w_P-P^<-4>+P^<-2>)P^<-S>+P^<-6>(λ^2_PP^8-2p^4w_p-2)p^<-2s>-P^<-8>(P^4w_P-P^2+1)P^<-3s>+P^<-8>P^<-4s>)のことで、П__p(1-λ_PP^<5/2> P^<-s>+(P^<-3>(1+P^2)+Pw_P)P^<-2S>-λP^<3/2> P^<-3s>+P^<-4s>)=Lf(s)の方をfのspin Lとよぶ。次のことはわかった。Σ_<n,n2> Σ_<mln,mln2> a^<(m^2)>_<(m^2)/(n_1n_2)> m^<-1>n_1^<-(s_2+s_1)+1/2>n_2^<-(s_2-s_1)+3/2>=Df(s_1,s_2)=a^<(1)>,L_f(s_1+s_2+1)L_f(s_2-s_1)П__p{(1-P^<-2s_2-2>)(1-P^<-5/2>(P^<-(s_2+s_1)+1/2>+P^<-(s_2-s_1)+3/2>)+P^<-2s_2-3>)}この級数は講突録843の中にある最後の級数にS(2s_1+2)をかけたものである。従ってSp(2、FR)のminimal parabolic subeqpのEisenstein級数をE(Z,s_1,s_2)としθ_2(Z)=Σ_<m,n>exp(2πi[^m_n]とすると∫_<H_2>f(Z)θ_2(Z)E(Z,s_1,s_2)d_0Zという積分表示をもち、またweight 0のdegree2のwave form To(4N)に対応している。このことは1995年春の学会で発表した。holomorphicな場合はあと1,2ヶ月時間が必要だが、θ(Z)=Σm exp(2πi m^2Z)のときθ^2(Z)からklingen typeのEisenstein組数を作りこれをE(Z,s_1,s_2)の代りに使うとよいように思われる。出来しだい公表したい。