代数曲線のモジュライ空間とガロア表現

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種数gの代数曲線のモジュライ空間M_<g,n>(ただしnはマークされた点の個数)の基本群π_1(M_<g,n>)へのガロア群Gal(【.encircledト.】/【.encircledト.】)の作用の研究を進めた(伊原,松本,中村博昭),また数体上の代数曲線は,放物的である限り,その基本群へのガロア群の作用によって一意に定まるのではないか,というグロタンディック予想の解決が得られた(玉川,望月).まずπ_1(M_<g,n>)へのガロアの作用については,π_1(M_<0,3>)へのそれで完全に定まり後者の量で前者の量が一般に表されることか期待されている.ここでπ_1のかわりにその任者の“pro-と実備化"をとっても同じ事が問題になる.この事実が,伊原-松本,伊原-中村の共同研究を中心とする研究によって,かなり一般のとに対して証明された。方法はM_<g,n>のカスプで極大退化曲線に対応する点の形式近傍のπ_1をグロタンディック-ミュアの基本群の理論等を用いて研究し応用するものである。尚副産物としてFriel-Volkleinモジュライ空間の“安定定義体"への応用がある。グロタンディック予想については,玉川がアフィン曲線の場合に証明に成功し,その後望月が,はじめ玉川の結果に帰着させる形で,次いでp進Holge理論(というより,Tate理論)を応用することによりP進的方法で,一般の曲線の場合の証明を得た.