多様体上の幾何構造および力学的構造の研究

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多様体上の力学的構造と幾何学的構造の関連に注目して研究を行ない、以下の成果を得た。1.リーマン多様体上の測地流は余接バンドル上のハミルトン力学系であり、それに対応する量子力学系としてラプラス-ベルトラミ作用素をみることができる。このとき、ラプラス-ベルトラミ作用素のスペクトルと測地流の力学的性質の関係を研究した。特に、べき零多様体上の計量の等スペクトル変形において、対応する古典および量子力学系の構造がどのように変形されているかを明らかにした。その結果、古典力学的には、ある種の力学構造が不変に保たれることが分かり、さらにそれを「量子化」することにより、作用素の変形がLax方程式で与えられることが明らかになった。2.近年種々の観点から注目されているゲージ場における力学系について、その古典力学系と量子力学系の幾何学的な定式化を試みた。まず、簡単な場合として、U(1)-ゲージ場である磁場の場合を考察し、幾何学的枠組みに基づいて、古典系の軌道の周期性と対応する量子力学系のエネルギー分布の性質の関係を明らかにした。さらに、一般の非可換ゲージ場の場合について現在考察中である。3.変分学の幾何学化という側面において、力学的構造と関連性が深いフィンスラ-構造の研究を行った。特に、複素フィンスラ-空間の典型的な例である(a,b,f)-計量の共形変換について調べ、共形的平坦性をテンソルによって特徴づけることができた。