等質空間上の微分方程式系

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半単純リー群上の球函数の満たす不変微分方程式系を研究し,その固有空間である球函数の空間の次元が,固有値の連続変形に対して安定であることを証明した。さらに,正規実型半単純リー群の場合に,不変微分作用素の同時固有空間として実現できる球表現の指標をすべての固有値に対して決定した。また,この結果のさらに,半単純対称空間や.その上の等質ベクトル束の場合への拡張を定式化し,証明を与えた。半単純リー群の表現は,閉部分群の既約表現からの誘導表現として実現されることが多い。この誘導表現の空間に,半単純リー群の一般の既約表現が含まれる重複度についての評価を研究した。すなわち,その重複度が常に有限となる条件,また,さらに強く,一様に有界となるための条件を考察した。元の既約表現が有限次元の場合,無限次元の場合に応じてそれぞれ4つの場合につき,必要十分な条件を部分群に対しての幾何学的な特徴づけとして与えた。特に,半単純リー群の完約部分群の任意の既約認容表現からの誘導表現が,重複度の一様有界性を持つ場合をすべて分類した。これらは,リー群のコンパクト化の空間における不変微分方程式系の確定得異異点型境界値問題として捕えることにより,証明された。旗多様体上の関数空間を,一般線型群の退化系列表現の空間として捕え,それ等の間のintertwining作用素を研究した。これによって,Gelfandの多変数超幾何微分方程式系を表現論的に解釈することに成功し,それの一般化および具体的な積分表示などを得た。