完全積分可能な量子系

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完全積分可能量子系は、帯球函数の満たす不変微分方程式系のパラメータの連続化による一般化と見なすことができ、この方向では関口,Heckman‐Opdam等の研究があった。一般の球函数の場合には,ベクトル値の微分方程式系となるが,それについてのパラメータの連続化可能性について研究した。球函数に対応する極大コンパクト群の表現が小さい場合は,パラメータの連続化が可能で,しかもシュレディンが一作用素のポテンシャルは,三角函数のみならず楕円函数まで拡張できることを示した。この結果は,Dunkl作用素との関連を指差している。また逆に、表現が大きい場合は、一般にはパラメータの連続化が不可能なことも示した。完全積分可能系が退化した場合の微分作用素や波動函数を調べるため,表現論的手法を用いた。まず古典的なCapelliの恒等式を,小行列式型に拡張した式を証明し,Capelli作用素を定義した。このCapelli作用素をを用いて微分作用素環のあるidealを構成し、それが一般線型群の退化表現空間を特徴づける微分方程式系であることを示した。この方程式系と退化系列表現間のintertwining作用素,すなわち,Radon変換を考察することにより,Gelfandの超幾何関数を含むより広い超幾何関数を統一的に与え,それの満たす微分方程式系や積分表示を証明した。また,行列型微分作用素のベキを考えることにより,古典的なHua作用素等を統一的に捕えることに成功した。