リー群の表現の退化と超幾何関数の一般化

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グラスマン多様体の間のRadon変換を考察することにより、Aomoto-gelfandの一般超幾何関数が、自然により拡張して統一的に理解できることが、研究代表者によって提案され、その研究が進んだ。特に、Lie群Hの有限次元表現とGL(m)の自然表現のテンソル積が概均質ベクトル空間になっていれば、それをグラスマン多様体上で実現してRadon変換を行うことにより、超幾何微分方程式の解は、概均質ベクトル空間の相対不変式を用いて積分表示される。これによって、今後、解空間の次元や、解の性質、特殊解などの研究が期待できる。昨年に続いて、グラスマン多様体の全測地的部分多様体を分類し、その上でのRadon変換が良い性質を持つかどうか調べた。全測地的部分多様体が射影空間の直積の場合、像が微分方程式形で特徴づけられることが分かったが、良い基底を用いて表したとき、そのRadon変換の基底を用いた具体的表示はまだ計算できていないので、今後の課題となった。良い逆変換公式を持つかどうかについては、特殊な場合以外はまだ分かっていない。関連する微分方程式として、リー環の行列の多項式の動径成分を一般的に決定することができた。