Analysis of hypergeometric equations using various transformations

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今年度は，特に多変数の超幾何函数の一般的取り扱いについての進展がいくつかあった．古典的なAppellの超幾何函数を例とする2変数超幾何函数に対して，局所解や接続問題を具体的に扱った．函数が満たす方程式を1階のPfaff系の形に変換し，KZ方程式とmiddle convolutionに基づいた積分変換の立場に加え，5次対称群による対称性と特異点でのBlowupに注目した計算を行った．より一般の高階の方程式も具体的に扱えるようになり，それらの計算が数式処理を用いて計算出来るようになった．重要な超幾何函数は対称性が高いが，対称性の高い高階のKZ方程式に対し，局所解の表示に必要な特殊関数の種類やその大域的性質を調べる手順を開発した．middle convolutionと関連して線型常微分方程式の研究に極めて有効であったRiemann-Liouville変換は，多変数の超幾何函数の研究にも有効であったが，Dirichletの積分公式に基づいた本質的に多変数の積分変換を定義し，その逆変換も具体的に積分変換で与えた．更にGauge変換や多変数の座標変換などと組み合わせて，収束べき級数環におけるより一般の積分変換を定義した．これにより古典的な多変数の超幾何函数として知られているAppellやLauricellaの超幾何函数や一部のHornなどの不確定特異点型の超幾何函数も含めて統一的に扱えるようになり，満たす方程式の変換やKZ型方程式との関連を調べた．これらの結果として，最も基本的なAppellのF1を一般化した2変数の一般階数の超幾何函数を定義し，特異点での独立解や接続公式を導くために基本となる結果を示した．