次元が無限大に発散する空間列の幾何解析的な収束理論の展開

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測度距離空間およびその拡張概念であるピラミッドに関して，以下の3つの研究を行った．1つ目の研究では，東北大学の横田氏と共同で，測度距離空間族における位相的有界性と順序的有界性の同値性について研究を行った．我々が以前証明した同値性のある種の局所版が成り立つだろうと予想し，その証明を行い，論文にまとめ，現在投稿中である．またその証明のテクニックは非常に緻密で横田氏によって別の主張の証明にも応用されている．2つ目の研究では，東北大学の塩谷氏・中島氏と共同で，測度距離空間全体の上に定まるボックス位相・集中位相およびピラミッド全体の上に定まる弱位相について位相的性質を調査した．昨年度中までに得られていた局所コンパクト性，σコンパクト性，Baire性，(大域)可縮性，測地性，局所連結性の有無に加えて，新しくスケーリング作用に関する主束構造についての結果を得ることが出来た．この研究に関する論文を執筆し，現在投稿中である．3つ目の研究では，福岡大学の三石氏・江崎氏と共同で，Cauchy分布を持つユークリッド空間(以下，Cauchy空間と呼ぶ)の集中位相に関する無限次元極限を決定した．実際，適切にスケールしたCauchy空間の次元を無限大に発散させた極限は1次元の半直線になることが分かった．これは正規分布の場合などの従来の結果とは全く異なる現象であり非常に興味深い．また我々はこの例を一般化し，収束する空間列に対する錐の収束という一般論も構築した．この研究に関する論文は現在執筆中である．