森夢空間の具体例について

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森夢空間とは，極小モデル理論の視点から見て「非常によい性質を持つ」代数多様体である．森夢空間について近年様々な研究がなされており，どのような代数多様体が森夢空間であるかは非常に興味深い問題となっている．本年度はその問題について，具体例を通して以下の様な研究を行った．(1) 森夢空間であるための（確認しやすい）条件について：ピカール数が2の場合には，森夢空間であるためのある十分条件がこれまでの研究で得られていたが，それが必要条件であるかどうかはわかっていなかった．適当なグラスマン多様体の1点をブローアップして得られる代数多様体の双有理幾何を具体的に記述することで，その代数多様体が森夢空間ではあるが前述の十分条件を満たさないことを示し，従って必要条件ではない事がわかった．また，森夢空間はCox環の有限生成性によっても定義されるので，前述の十分条件をシンボリックRees環の観点からも考察した．(2) モジュライ空間について：射影直線上の自明な直線束の商スキームについて研究した．その商スキームについてネフ錐や有効錐，movable錘は既に知られていたが，その商スキームと余次元１で同型であるQ分解的正規射影代数多様体（small Q-factorial modificationと呼ばれる）を適当なモジュライ空間として構成し，それらのネフ錐や収縮射などを調べた．特にその商スキームが森夢空間であることを証明した．