量子群の対称性と超幾何微分方程式

二次元共形場理論を構成し、相関函数を導く方法の一つに、自由場表示を利用するものがある。本研究では、この方法を量子群の対称性をもつ場合に適用し、超幾何関数のq-変形との関係を調べた。そのために、我々はまずアフィン量子群Uq(sl_2)のフォック表現をレベルが一般の場合に具体的に実現した。すなわち,Uq(sl_2)の表現を無限変数の微分作用素を用いて実現したことになり、物理でいう自由場表示を行ったことになる。さらの、この表現の指標を考察し、フォック空間を適当な作用素の核に制限して得られる表現が脇本表現と呼ばれるアフィン・リー環sl_2の表現の変形になることを示した。つぎに、これを用いてWess-Zumino-Witten模型のプライマリー場およびスクリーニング作用素のq変形を構成した。これらを用いれば、Wess-Zumino-Witten模型の量子群版であるFrenkel-Reshhetikhim理論の相関函数が計算できることとなる。我々は、それを簡単な場合に実行し、相関函数がJordan-Pochhammer型の(一般化された)超幾何関数のq-変形で与えられることを証明した。今後の課題としては、Uq(sl_2)の可積分表現の分解の研究がある。これは、アフィン・リー環の場合にはすでに研究されているが、アフィン量子群の場分はまだなされていない。また、スクリーニクグ作用素のもつ対称性を表す代阪の研究も重要である。Wess-Zumino-Witten模型の場合にはすでに詳しく調べられているが、Frenkel-Reshetikhi理論の場合には本質的に新しい代数的構造を必要とすると考えられる。これらの問題は、可解格子模型との関連でも重要である。

二次元共形場理論を構成し、相関函数を導く方法の一つに、自由場表示を利用するものがある。本研究では、この方法を量子群の対称性をもつ場合に適用し、超幾何関数のq-変形との関係を調べた。そのために、我々はまずアフィン量子群Uq(sl_2)のフォック表現をレベルが一般の場合に具体的に実現した。すなわち,Uq(sl_2)の表現を無限変数の微分作用素を用いて実現したことになり、物理でいう自由場表示を行ったことになる。さらの、この表現の指標を考察し、フォック空間を適当な作用素の核に制限して得られる表現が脇本表現と呼ばれるアフィン・リー環sl_2の表現の変形になることを示した。つぎに、これを用いてWess-Zumino-Witten模型のプライマリー場およびスクリーニング作用素のq変形を構成した。これらを用いれば、Wess-Zumino-Witten模型の量子群版であるFrenkel-Reshhetikhim理論の相関函数が計算できることとなる。我々は、それを簡単な場合に実行し、相関函数がJordan-Pochhammer型の(一般化された)超幾何関数のq-変形で与えられることを証明した。今後の課題としては、Uq(sl_2)の可積分表現の分解の研究がある。これは、アフィン・リー環の場合にはすでに研究されているが、アフィン量子群の場分はまだなされていない。また、スクリーニクグ作用素のもつ対称性を表す代阪の研究も重要である。Wess-Zumino-Witten模型の場合にはすでに詳しく調べられているが、Frenkel-Reshetikhi理論の場合には本質的に新しい代数的構造を必要とすると考えられる。これらの問題は、可解格子模型との関連でも重要である。