有限幾何的な手法による頂点作用素代数の研究

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本研究費によるこれまでの研究によって,以下のことがわかった。与えられた3互換群が頂点作用素代数に中心電荷1/2のVirasoro代数に附随する自己同型を通じて作用する場合には,その3互換群に附随するFischer空間の各線に対して中心電荷7/10のVirasoro代数の表現が構成され,その最高ウェイトの分類から,考えているFischer空間はSymplectic型でなければならない。さらに,その3互換群に附随するグラフを考えると,その固有値は-8以上でなければならない。以上の条件を満たす3互換群はすべてリストアップでき,そのリストに現れる3互換群が作用する頂点作用素代数は,格子に附随する頂点作用素代数の適切な部分代数を取り出すことによって実現される。この研究で現れた3互換群の一部は,当研究室に所属する学術振興会PDの佐久間伸也氏と山内博氏によって,モンスターの2A元に関するマッカイのE8観察と関係するようなある頂点作用素代数と深く関わっていることが見出された。彼等はこの頂点作用素代数を実現しその表現を分類した。これによって,モンスターグラフの上部構造を解明する端緒が開かれた可能性もあり,この方向の研究を今後も続けていく必要がある。一方,W代数の表現論を展開するため,名古屋大学の土屋昭博氏および大阪大学の永友清和氏と共同で,然るべき有限性条件を満たす頂点作用素代数について,その表現を統制する普遍展開環の代数構造についての研究を行った。そのような環については,エネルギー固有値に関するスペクトル分解を利用すると,いわゆるZhu代数を一般化した有限次元代数が構成され,その表現の圏ともとの頂点作用素代数の表現の圏の間の圏同値関手が得られることがわかった。