差分方程式の表現論的研究

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非形場理論に現れる微分方程式である,Knizhnik-Zamolodchikov(KZ)方程式の解の積分表示の理論のq-変形をアフィン量子代数(量子群)の表現論的な観点から構成することに取り組んだ。まず,前年度の研究によって得られたアフィン量子代数U_q(sl_2)のボゾン表現の構造を調べた。この表現からある種のスクリーニング作用素を用いて部分表現を取り出し,その指標をEuler-Poincareの原理で計算した。その結果はアフィンリー環sl_2の脇本表現の指標と一致し,我々の表現が脇本表現のq-変形であることが示された。このボゾンのなす代数は正規化を除いて通常のハイゼンベルグ代数と一致しているので,通常の計算方法が原理的にはほぼそのまま適用可能である。そこで,表現のintertwinerを構成することにより,その相関函数のJackson積分の形でq-KZ方程式の解を表示した。特に積分変数の個数が1の場合には,以前に得られた解と一致することを確かめることができた。さらに,積分変数の個数が2以上の場合にも計算を試みたが,複雑な有理式の積分の計算に帰着し直接計算は極めて困難であったため,結果を具体的な形で表示するためにはよりシステマチックに計算すべきであることが判明した。そのための準備として,Tarasov氏らのBethe仮説に関する研究結果を調査し,Bethe仮説の方法を我々の問題に組み合わせることを考察した。その結果,Yangianとよばれる対称性を取り込むことでうまく計算が進む可能性があることが分かった。