2次元共形場理論におけるテンソル積と量子群の研究

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本研究では,二次元共形場理論に現れるある種のカイラル代数のみたす性質を公理化した概念である,頂点作用素代数について調べた。頂点作用素代数の加群のテンソル積の概念をより数理物理的な立場から見直すことが目標であったが,それ以前に頂点代数の基本的な性質が未整理があったため,研究の第一段階として,頂点代数の特徴づけの別証明を与えた。この証明は,これまで知られているものよりも計算は複雑であるが,論理的にはより簡明なものである。この観点から,頂点代数の種々の構成法についても論理的に簡明な証明が与えられるものと期待される。ところで,頂点代数と頂点作用素代数の差異は,頂点作用素代数にはVirasoro代数の作用が仮定されていること,および,Virasoro代数の作用から決まる自然な次数付けがあることにある。その違いが,どのような形で具体的に現れるかを調べるために,もっとも簡単な頂点代数である自由bosonの場合に,Virasoro元をすべて分類することを行った。その結果,これまで知られていたVirasoro元に簡単な自己同形を作用させることですべてのVirasoro元が得られることが分かった。また,次数付けを保つとは限らない自己同形もすべて分類できた。ところが,一般の頂点代数では,次数付けを保たない自己同形群は極めて大きくなるということも具体例で観察された。