リー群の楕円型変形とその応用

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本研究では、楕円型R行列に付随するLie群の変形を調べることを目的とし、そのために、そのようなLie群の変形を対称性として持つ可解格子模型についての計算を行った。Zamolodchikovにより可解格子模型の自由エネルギーと場の理論の散乱振幅の関係が分かっており、さらに、対称空間上での場の理論の散乱振幅はHarish-Chandraのc関数として解釈されるので、可解格子模型の自由エネルギーや励起状態のエネルギーを計算することは対称空間に付随する表現論的な種々の量を計算することになる。このような文脈では、FreundとZabrodinが共同研究を行っているが、本研究ではXYZ模型をSklyanin代数の高スピン表現を使って一般化した模型や、楕円型r行列に付随するGaudin模型についての計算を行って、現在進行中である。この内、一般化されたXYZ模型については、代数的Bethe Ansatzを使って、自由エネルギーを計算してあったが、これを基礎としてKorepinによる処方箋に従って(低レベルの)励起状態に対するHamiltonianの固有値を代数的Bethe Ansatzによって計算中である。また、楕円型Gaudin模型については、functional Bethe Ansatzによる変数分離を行ってHamiltonianを対角化することを目標として、Sklyanin(東京大学)と共同研究を行い、古典力学のレベルでは、実際に変数分離ができることを確認した。現在、量子力学レベルでの計算が進行中である。最近のBabujian,Feigin,Frenkel,Reshetikhin,Varchenkoらの研究を楕円型変形の場合にまで拡張できるとすれば、我々の研究は(Etingofの求めた)楕円型KZ方程式の解と楕円型Gaudin模型の関係を明らかにするものであり、この方向からも表現論とのつながりが分かってきた。