液晶の数理解析

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研究代表者は、調和写像型変分問題で、そのモ-ス流が線形熱型方程式系で規定される問題を扱い時間大域的にモ-ス流の存在することを示し、その正則性について調べた。ソボレフ空間上で初期写像から始めて変分汎関数列を帰納的に遂次構成し、それら汎関数の最小化写像を用いて離散モ-ス流を構成し、その極限としてモ-ス流をとらえることを目標としたものである。汎関数の最小化性に本質的に根ざした評価式を得て、比較写像を導入することによりCaccioppoli評価を導き離散、モ-ス流のGehringに意味による高い可積分を得るものであり、モ-ス流の構成法の一つを確立した。これら評価及び手法は、その本質において、非線形問題に適用できるものであり、調和型変分問題、Yang-Mills接続、液晶及び超伝導のGinzburg-Landau問題での検討が代表者、三沢、山浦、小俣によってなされている。この理論において差分-偏微分楕円放物型方程式系の解の正則性の研究が基本的なものとなるが、代表者と三沢により解に対してHolder評価及びHarnack不等式が成立することが見出された。他方、変分問題のモ-ス流による正則性、特異性の伝播の問題が興味深い問題であるが調和写像型である液晶及び超伝導の変分問題にあって、小俣、三沢、山浦によってその数理及び数値解析がなされている。今年度は、液晶を主題にして、多変数変分問題に関する研究集会を幾つか開催した。これら企画を通じて数学、物理、化学、工学にたずさわる研究者間の交流が深められた。また、F.H.Lin(New York Univ.,Courant Institute)、R.Hardt(Rice Univ.)、L.Jiang(Soochow Univ.)、G.Seregin(Russia Academy)教授達との液晶、超伝導、その他物質科学に関する共同研究が推し進められている。