変分問題のモ-ス理論

「変分問題のモ-ス理論」の課題において代表者は特に調和写像型の変分問題のモ-ス流の構成及びその正則性を集中して行いました。このモ-ス流は非線形放物型方程式系で記述されますが、その構成をRotheの近似法で扱います。この近似方程式系には変分構造が存在することに着目し、初期写像から始めて対応する変分汎関数の最小化写像を用いて近似解を構成し、その極限としてモ-ス流を求めるものです。この接近法には最小化性という強い性質を用いられる利点がありますが、この方法を遂行するためにはその最小化写像の満たす楕円-放物型差分偏微分方程式の解析が要請されます。今年度において代表者に得られた成果はそれら差分偏微分方程式系を満たす時間的離散関数の時間-空間に関する正則性の基本的定理です。即ちCompanato,Holder評価それにReverse Holder評価から得られるグラディエントの高位可積性を導出しました。これら基本的性質の応用としてリボレフ空間における調和写像のモ-ス流の構成に成功しました。また、放物型方程式系に対して得られた理論をもとにして、非線形波動及び非定常ナヴィア・ストウクス方程式への研究の展開を試み、近似解に対するCaccioppoli評価を導き、整備した「時間離散関数にもあてはまるGehring理論」を用いることにより、グラディエントの高位化積分性を持つ解の構成を行いました。圧縮性及び非圧縮性ナヴィア・ストウクス方程式については、谷温之によって、時間大域解・渦糸の存在、粘性係数消滅の収束問題が取り扱われました。

「変分問題のモ-ス理論」の課題において代表者は特に調和写像型の変分問題のモ-ス流の構成及びその正則性を集中して行いました。このモ-ス流は非線形放物型方程式系で記述されますが、その構成をRotheの近似法で扱います。この近似方程式系には変分構造が存在することに着目し、初期写像から始めて対応する変分汎関数の最小化写像を用いて近似解を構成し、その極限としてモ-ス流を求めるものです。この接近法には最小化性という強い性質を用いられる利点がありますが、この方法を遂行するためにはその最小化写像の満たす楕円-放物型差分偏微分方程式の解析が要請されます。今年度において代表者に得られた成果はそれら差分偏微分方程式系を満たす時間的離散関数の時間-空間に関する正則性の基本的定理です。即ちCompanato,Holder評価それにReverse Holder評価から得られるグラディエントの高位可積性を導出しました。これら基本的性質の応用としてリボレフ空間における調和写像のモ-ス流の構成に成功しました。また、放物型方程式系に対して得られた理論をもとにして、非線形波動及び非定常ナヴィア・ストウクス方程式への研究の展開を試み、近似解に対するCaccioppoli評価を導き、整備した「時間離散関数にもあてはまるGehring理論」を用いることにより、グラディエントの高位化積分性を持つ解の構成を行いました。圧縮性及び非圧縮性ナヴィア・ストウクス方程式については、谷温之によって、時間大域解・渦糸の存在、粘性係数消滅の収束問題が取り扱われました。