Klein群のautomaticとStructureとR-treeへの群作用

Klein群の分類理論、及び変形空間の境界の構造は、今まで群がfreely indecomposableの場合しか解明されていなかった。私は今年度科学研究費補助金を使って、freely decomposableなKlein群の変形空間の境界の構造の研究を行った。より具体的には以下のような研究を行った。まず第1に、Gを抽象群として、閉曲面群(S(1),…,S(n)の基本群とする)の有限個の自由績あるいはそのHNN拡大に同型な幾何学的有限Klein群とする。Gの擬等角変形空間はS(1),…,S(n)のTeichmuller空間とそれらの連結和の曲面SのTeichmuller空間の直績でparametrizeされる。そこでS(1),…,S(n)の方のparameterを有界領域で動かし、SのparameterをMasur領域の点に収束するように無限遠にとばしたとき、それに対応するKlein群の列は部分列をとれば収束することを証明した。これはquasi-Fuchs群の変形空間の場合のBersのcompact化の正確な拡張になっている。次に分類理論の中心的な問題である位相共役と擬等角共役の関係について、昨年Minskyと私によって得られた、freely indecomposableな場合の結果をfreely decomposableで、topologically tameな場合に拡張した。すなわち単射半径が正定数でpinchされている二つのKlein群が位相共役で、片方がtopologically tameだとすると、もう片方もtopologically tameでそれらは擬等角共役であることを証明した。その過程でMinskyのrigidity theoremをtopologically tame群の場合に拡張した。

Klein群の分類理論、及び変形空間の境界の構造は、今まで群がfreely indecomposableの場合しか解明されていなかった。私は今年度科学研究費補助金を使って、freely decomposableなKlein群の変形空間の境界の構造の研究を行った。より具体的には以下のような研究を行った。まず第1に、Gを抽象群として、閉曲面群(S(1),…,S(n)の基本群とする)の有限個の自由績あるいはそのHNN拡大に同型な幾何学的有限Klein群とする。Gの擬等角変形空間はS(1),…,S(n)のTeichmuller空間とそれらの連結和の曲面SのTeichmuller空間の直績でparametrizeされる。そこでS(1),…,S(n)の方のparameterを有界領域で動かし、SのparameterをMasur領域の点に収束するように無限遠にとばしたとき、それに対応するKlein群の列は部分列をとれば収束することを証明した。これはquasi-Fuchs群の変形空間の場合のBersのcompact化の正確な拡張になっている。次に分類理論の中心的な問題である位相共役と擬等角共役の関係について、昨年Minskyと私によって得られた、freely indecomposableな場合の結果をfreely decomposableで、topologically tameな場合に拡張した。すなわち単射半径が正定数でpinchされている二つのKlein群が位相共役で、片方がtopologically tameだとすると、もう片方もtopologically tameでそれらは擬等角共役であることを証明した。その過程でMinskyのrigidity theoremをtopologically tame群の場合に拡張した。