古典群の表現論と量子群の幾何学の研究

古典群の表現論において、リー環の包絡代数の中心の生成元としてカシミール作用素以外のものとしてはどのようなものを択ぶのが自然であるかという問題は長い間等閑に付されていたが、本研究代表者は本研究以前に筑波大学数学系の筧知之講師との共同研究において、ラドン変換の像を特徴付ける微分作用素に対応する元がその候補として適切であることを示した。本研究においては、それをより精密に議論する為に、それらの不変微分作用素の動径成分と呼ばれる対称空間に付随するトーラス上の微分作用素の表式について、従来の表現論的考察を見直して、より直接的な計算により、その本質を明らかにしようとした。その結果、低次元の場合のカシミール作用素とラドン変換に係わる微分作用素とについて、その動径成分の表式の新しい導出法を見出すことが出来た。一般的な場合についての解決は今後の課題であり、計算機を利用しての研究を進めていきたい。次に、ラドン変換の像を特徴付ける微分作用素の応用として、ツォル計量の無限小的等角変形の可積分性を調べてきたが、それにおいて得られる方程式が軸対称性と深く関わることを示す結果をいくつか得ることが出来た。これはその方程式が軸の存在を示す縦型方程式系から軸を消去して得られる非線型方程式に相当するという観点で見れば、無限次元可積分系との関連を強く示唆しているものと考えられる。これについては多項式の制限の形の関数について今後計算機を用いての考察を進めることにより、重要な進展が得られるものと期待している。以上の結果の一部は平成7年2月15日に京都大学理学部数学教室における談話会において口答発表を行った。又、不変微分作用素の動径成分についての論文とツォル計量の無限小的等角変形の可積分性についての論文を投稿準備中である。

古典群の表現論において、リー環の包絡代数の中心の生成元としてカシミール作用素以外のものとしてはどのようなものを択ぶのが自然であるかという問題は長い間等閑に付されていたが、本研究代表者は本研究以前に筑波大学数学系の筧知之講師との共同研究において、ラドン変換の像を特徴付ける微分作用素に対応する元がその候補として適切であることを示した。本研究においては、それをより精密に議論する為に、それらの不変微分作用素の動径成分と呼ばれる対称空間に付随するトーラス上の微分作用素の表式について、従来の表現論的考察を見直して、より直接的な計算により、その本質を明らかにしようとした。その結果、低次元の場合のカシミール作用素とラドン変換に係わる微分作用素とについて、その動径成分の表式の新しい導出法を見出すことが出来た。一般的な場合についての解決は今後の課題であり、計算機を利用しての研究を進めていきたい。次に、ラドン変換の像を特徴付ける微分作用素の応用として、ツォル計量の無限小的等角変形の可積分性を調べてきたが、それにおいて得られる方程式が軸対称性と深く関わることを示す結果をいくつか得ることが出来た。これはその方程式が軸の存在を示す縦型方程式系から軸を消去して得られる非線型方程式に相当するという観点で見れば、無限次元可積分系との関連を強く示唆しているものと考えられる。これについては多項式の制限の形の関数について今後計算機を用いての考察を進めることにより、重要な進展が得られるものと期待している。以上の結果の一部は平成7年2月15日に京都大学理学部数学教室における談話会において口答発表を行った。又、不変微分作用素の動径成分についての論文とツォル計量の無限小的等角変形の可積分性についての論文を投稿準備中である。