可解格子模型とそこに現れる特殊関数

可解的晶格模型和其中出现的特殊函数

• 批准号: 08211253
• 负责人: 中屋敷 厚
• 金额: $ 0.51万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research on Priority Areas
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-08211253/
• 关键词: 可解格子模型; 可積分場の理論; KZ方程式; 形状因子; 相関関数; テ-タ関数; 積分公式; 表現論

2次元可解格子模型あるいは可積分場の理論の模型の相関関数や形状因子は,qKZ方程式などある種のq差分方程式系を満たすことが最近の研究によりあきらかにされてきた。ところでそこで現れるqKZ方程式はレベルと呼ばれる方程式のパラメータの値が零又は単純リー環の双対コクセタ-数の-2倍という特別なものになっている。F.SmirnovはSU(2)不変Thirring模型と呼ばれる可積分場の理論の模型の形状因子の積分表示を導いている。これはレベル零sl_2有理qKZ方程式の解を与える。Smirnovは形状因子の性質を調べるためにqが1の極限を研究しレベル零sl_2KZ方程式の解の積分表示を得、さらにその積分が超楕円曲線のテ-タ零値を用いて書き換えられる事を発見した。テ-タ零値による表示はソリトン方程式の準周期解など有限次元の古典的完全積分可能系レベル零KZ方程式の解あるいは場の理論の形状因子の構造とが関係している事を示唆する。実際Smirnovはレベル零の積分表示が頂点作用素の最高ウエイトについての真空期待値として表示出来ることを仮定して関係を議論している。ところで我々はsl_2KZ方程式の場合に表現論から導かれる解の積分表示の中身である微分形式がレベル零の時には完全形式になっていることを見つけた。これはSmirnov型の積分表示と表現論とが普通の意味では結びついていないことを意味する。そこで完全積分可能系との関係や、Smirnov型の積分表示を表現論の立場で理解する事を目的としてSmirnovの結果をsl_Nに拡張してみた。この時Z_N曲線と呼ばれる代数曲線に関する幾つかの性質を調べることが必要になった。調べた結果、以前物理学者Bershadsky-Radulによって経路積分の手法を用いて(従って数学的には厳密でない)得られていたZ_N曲線に対するThomaeの公式を初等的な手法で厳密に証明する事が出来た。Thomaeの公式とそれを証明するときに明らかになった事実を用いてレベル零sl_NKZ方程式の解のテ-タ零値表示を与えた。それはsl_2の場合の自然な拡張になっている。表現論による理解と言うことについては次のようなことがsl_2の場合にわかった。表現論から導かれる解の積分表示をある種の境界のある積分領域で積分するとSmirnovの積分公式が得られるのである。これはWakimoto加群の理論でスクリーニング作用素をうまく定義すればSmirnovの積分は表現論の立場で理解出来ることを示唆している。sl_Nのときは状況はもう少し複雑である。この辺の話題は現在研究中でありこれからの課題の一つである。

最近的研究表明，二维溶解晶格模型中的相关函数和形态因素或可集成领域的模型理论可以满足Q-差方程的某些系统，例如QKZ方程。顺便说一句，似乎在称为级别的方程值中有一个特殊值的QKZ方程，其零或简单谎言环的双Coxetha数为-2倍。 F. smirnov得出了一个名为SU（2）不变的斜线模型的模型模型的形式因素的积分表示。这提供了对零级sl_2有理qkz方程的解决方案。 Smirnov研究了Q 1的限制以研究形式因素的性质，并获得了对零sl_2kz方程的解决方案的积分表示，并发现使用高层次曲线的TER-Zero值重写。使用表零值的表示形式表明，它与有限尺寸的经典完全集成水平零kz方程的解有关，例如对孤子方程的准周期解或场理论形式的结构。实际上，Smirnov讨论了这种关系，假设可以将零级积分表示形式显示为对顶点操作员最高权重的真空期望。顺便说一句，我们发现，差分形式是从表示理论得出的解决方案的积分表示的内容（在sl_2kz方程的情况下），当级别零时，现在是完美的形式。这意味着Smirnov型的积分表示和表示理论在普通意义上没有联系。因此，我们将Smirnov的结果扩展到SL_N，目的是从表示理论的角度理解与完全集成系统的关系以及Smirnov类型的整体表示。目前，有必要研究称为Z_N曲线的代数曲线的某些属性。这项研究使我们能够严格证明Z_N曲线的Thomae公式，该曲线先前是由物理学家Bershadsky-Radul（因此在数学上精确的）使用基本方法获得的。使用Thomae的公式以及在证明证明时揭示的事实，我们将解决方案的TETA-Zero表示为Quelp-Zero-Zero SL_NKZ方程。在SL_2的情况下，它是自然的扩展。在基于表达理论的理解时，在SL_2的情况下发现了以下内容。通过整合从代表理论中的集成区域中得出的解决方案的积分表示，我们可以获得Smirnov积分公式。这表明，如果在Wakimoto的添加理论中很好地定义了筛选运算符，则可以从表示理论的角度来理解Smirnov的积分。当sl_n时，情况会更加复杂。该主题目前正在研究中，是即将发生的问题之一。

项目成果

Atsushi Nakayashiki: "Crystallizing the spinon basis" Communications in Mathematical Physics. 178. 179-200 (1996)

Atsushi Nakayashiki：“结晶自旋基”数学物理通讯。

Atsushi Nakayashiki: "Fusion of the 9 vodex operators and its application to solvable vodex wodels" Communications in Mathematical Physics. 177. 219-232 (1996)

Atsushi Nakayashiki：“9 个 vodex 算子的融合及其在可解 vodex wodels 中的应用”数学物理通信。

Atsushi Nakayashiki: "Quasi-particle structure in solvable vertex wodels" Contemporary Mathematics. 194. 219-232 (1996)

Atsushi Nakayashiki：“可解顶点wodels中的准粒子结构”当代数学。