可積分系のタウ関数と代数曲線

代数曲線の退化に伴うKP方程式の解の退化を中心にして研究を行った。特に昨年度に引き続き、KP方程式のテータ関数解に頂点作用素を作用させてできる解に対応する代数曲線について研究した。昨年度の研究で、このような解は元になるテータ関数解に対応する非特異代数曲線の何点かを同一視して得られる特異代数曲線に対応することを示した。ただ結果を論文にまとめるにあたり、再検討した結果、このような主張をするためには、「特異代数曲線に対応する」ということのより正確な数学的定式化が必要であることが判明した。今年度の研究ではこの定式化について研究した。Mumfordによる可環微分作用素と代数曲線の対応の定式化、それを発展させた村瀬による可環微分作用素環の幾何学的分類に関する研究が参考になることが分かり、それを基に次のような結果を得た。1.得られた解に対応する佐藤のグラスマン多様体の点を固定する可換環の決定, 2.その可換環に存在する自然なフィルター付けを用いた射影スキームの構成、3. その射影スキーム上の階数1のねじれ無しの連接層の構成、4. その連接層のアフィン開集合上の切断の空間を佐藤のグラスマン多様体に埋め込んだ点に対応するKP方程式の解が考えている解に一致することの証明、5. 元になるテータ関数解に対応する非特異代数曲線が、このように構成された射影スキームの正規化になることの証明。以上の結果を昨年度の結果に組み込んで現在論文を執筆中である。

代数曲線の退化に伴うKP方程式の解の退化を中心にして研究を行った。特に昨年度に引き続き、KP方程式のテータ関数解に頂点作用素を作用させてできる解に対応する代数曲線について研究した。昨年度の研究で、このような解は元になるテータ関数解に対応する非特異代数曲線の何点かを同一視して得られる特異代数曲線に対応することを示した。ただ結果を論文にまとめるにあたり、再検討した結果、このような主張をするためには、「特異代数曲線に対応する」ということのより正確な数学的定式化が必要であることが判明した。今年度の研究ではこの定式化について研究した。Mumfordによる可環微分作用素と代数曲線の対応の定式化、それを発展させた村瀬による可環微分作用素環の幾何学的分類に関する研究が参考になることが分かり、それを基に次のような結果を得た。1.得られた解に対応する佐藤のグラスマン多様体の点を固定する可換環の決定, 2.その可換環に存在する自然なフィルター付けを用いた射影スキームの構成、3. その射影スキーム上の階数1のねじれ無しの連接層の構成、4. その連接層のアフィン開集合上の切断の空間を佐藤のグラスマン多様体に埋め込んだ点に対応するKP方程式の解が考えている解に一致することの証明、5. 元になるテータ関数解に対応する非特異代数曲線が、このように構成された射影スキームの正規化になることの証明。以上の結果を昨年度の結果に組み込んで現在論文を執筆中である。