Renormierungsgruppenflussgleichungen und hydrodynamische Turbulenz

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Das Forschungsvorhaben gehört in den Bereich der statistischen und Computer-unterstützten Feldtheorie. Die Theorie der hydrodynamischen Turbulenz beinhaltet eine Reihe von Fragestellungen, die mit bisher gängigen Ansätzen der Statistik nicht behandelt werden können. Der Schwerpunkt auf diesem Gebiet liegt weltweit auf dem Studium der intermittenten Strukturbildung im turbulenten Fluid, die sich in anomalem Skalieren der messbaren Größen manifestiert. Insbesondere die exakte Renormierungsgruppe nach Wilson bietet bislang noch unausgeschöpfte Möglichkeiten, statistische Systeme auf unterschiedlichen Längenskalen simultan zu betrachten; hierzu ist es notwendig, die Physik im Funktionalintegralformalismus beschreiben zu können.Inhalt des hier beantragten Projekts ist es, den Weg für Renormierungsgruppenuntersuchungen von Strukturbildungsphänomenen zu ebnen, die zu Grunde liegenden stochastischen Differenzialgleichungen mit Monte-Carlo-Methoden zu studieren und so einen Zugang zur unverstandenen Statistik turbulenter Strömungen zu öffnen. Zentrales Anliegen ist es dabei, ausgehend von einer stochastischen Diffenzialgleichung (Burgers' Gleichung, Navier-Stokes-Gleichung eines inkompressiblen Fluids), eine theoretische Erklärung für die Skalierungsexponenten der messbaren Strukturfunktionen zu finden. Ein Konzept, das dieses bisher als äußerst schwierig erscheinende Ziel ermöglicht, ist das des Multiskalenverhaltens' und der Multifraktalität. Mit der Wilsonschen Formulierung der Renormierungsgruppe können diese bislang nur heuristischen Begriffe in eine rigorose Behandlung der Feldstatistik eingeordnet werden. Zudem vereinfacht die bereits- vorliegende numerische Implementierung ein simultanes Beobachten einer sehr großen Zahl von Feldoperatoren, stellt aber zugleich hohe Ansprüche bei der Suche nach universellen Strukturen.Andererseits haben Renormierungsgruppenmethoden immer den Nachteil eines hohen Abstraktionsgrades, und so einer gewissen Unanschaulichkeit. Der Einsatz von Monte-Carlo-Simulationen hilft uns, diesen Nachteil zum Teil zu umgehen; durch numerische Experimente hat man direkten und anschaulichen Zugang zu den Feldern und Strukturen. In den letzten Jahren haben wir umfangreiche Erfahrungen mit den analytischen und numerischen Aspekten des vorgestellten Themas gesammelt und möchten darauf aufbauend diverse physikalische Fragestellungen in diesem Rahmen erforschen. Über die Anwendung auf die Theorie turbulenter Fluide hinaus ergeben sich Möglichkeiten zur Untersuchung weiterer Systeme, zum Beispiel aus der Magnetohydrodynamik, sowie weiterführende Fragestellungen zu den Grundlagen der statistischen Feldtheorie.