保型L函数の特殊値の明示式とその応用

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(SO(5), SO(2))の場合のBessel周期に関して、保型表現が全ての素点でtemperedな場合には、古澤昌秋氏(大阪公立大)との共著で証明していた。一方で、Y. QiuによりCAP表現と呼ばれるtemperedでない表現に関して、適当な正規化を用いることで局所Bessel周期を定義され、さらに、この場合の市野-池田型の公式をWaldspurger公式を用いることで証明している。一般化されたRamanujan予想によりCAP表現でなければ、temperedであると期待されているが、この予想はGL(2)の場合でも証明されておらず、現状ではこの予想を仮定することは、強過ぎる仮定となる。そこで、古澤氏との共著における手法を一般化してtemperedとは限らない保型表現に関して、(SO(5), SO(2))の場合のBessel周期の市野-池田型の公式を考察した。問題となるのが、局所テータ対応の明示的な実現と、それを用いた局所周期の引き戻しの計算である。局所テータ対応の明示的な実現に関しては、temperedな場合には絶対収束するDoubling局所積分により定義されていたが、一般の場合にはDoubling局所積分についての解析的性質を用いることで、複素関数の特殊値として局所テータ対応を実現すればよいことがわかった。局所周期の引き戻しの計算に関しては、引き戻す周期に関しても適当な正規化を用いて積分により定義しておく必要がある。本年度はまず非アルキメデス体上の場合を考察した。局所Whittaker周期に関しては、LapidとMaoにより一般に定義できているが、ユニタリ群のBessel周期に関しては一般の表現に関して積分による定義はなかったが、非常に小さいユニポテント群での絶対収束がわかれば、Qiuの手法に倣うことで局所周期の定義可能であることがわかった。