保型形式の周期と保型L函数の特殊値

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本年度は主に①「SO(V)×GL(2)のL函数の特殊値の代数性」と②「四元数ユニタリ群とGL(2)のテンソル積L函数の特殊値の代数性」のふたつのテーマに取り組んだ。研究① : 本研究は古澤昌秋(大阪市立大学)との共同研究である。古澤との以前の研究(Amer. J. Math.掲載予定)では、definiteな直交空間Vに対してSO (V)の保型表現の無限成分が自明表現である場合に、右端の臨界点においてSO(V)×GL(2)のL函数の特殊値の代数性を証明した。本研究では、SO(V)の無限成分と臨界点に関する一般化を考察した。実際、GL(2)の保型表現とSO (V)の保型表現の無限成分が一般化されたunbalanced caseの条件を満たすある場合において、多くの臨界点での特殊値の代数性を証明した。更に、種々の予想の下でDeligne periodを計算し、この結果がDeligneのL函数の特殊値に関する予想と符合することを確かめた。特に、Vの次元が4の場合にはRankin三重積L函数を考察しており、この結果はBlasiusによる予想のunbalanced caseと符合している。研究② : 本研究はIMRM掲載予定論文で扱った四元数ユニタリ群とGL(2)のL函数の特殊値の結果の一般化への取り組みである。この論文では四元数ユニタリ群とGL(2)の保型表現は同じ重さを持つ正則保型形式に対応する場合代数性を考察していた。本研究においては、ベクトル値の正則保型形式を含むmixed weight caseのある場合において特殊値の代数性を証明した。この代数性の結果からは内部形式の間で対応する正則保型形式の周期の関係式だけでなく、Yoshida liftと呼ばれるベクトル値の正則保型形式についての周期の関係も証明することができる。この場合のDeligne periodは吉田敬之氏により計算されており、本研究の結果はその計算とも符合する。